수의
제곱근 처럼, 행렬도 제곱근을 정의할 수 있다. 그런데 행렬의 특성상
제곱근이 되는 행렬이 엄청나게 많다 . 2×2 단위행렬만 해도 아래와 같이 제곱근행렬이 10가지 경우로 매우 많다. 다만 원래 행렬이 양의 준정부호 행렬이라면 제곱근 중 양의 준정부호 행렬은 유일하다는 것이 알려져 있으므로 이를 principal square root라 해서 이를 기준으로 삼을 수 있다.
[ 1 0 0 1 ] = 1 h [ b a a − b ] , 1 h [ − b − a − a b ] , 1 h [ − b a a b ] , 1 h [ b − a − a − b ] , [ 1 0 0 1 ] , [ 1 0 0 − 1 ] , [ − 1 0 0 1 ] , [ − 1 0 0 − 1 ] , [ 0 1 1 0 ] , [ 0 − 1 − 1 0 ] \displaystyle \sqrt{\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}} = {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad a \\ a \quad -b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad -a \\ -a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad a \\ a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad -a \\ -a \quad -b \end{bmatrix}}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 1 \quad 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad -1 \\ -1 \quad 0 \end{bmatrix} [ 1 0 0 1 ] = h 1 [ b a a − b ] , h 1 [ − b − a − a b ] , h 1 [ − b a a b ] , h 1 [ b − a − a − b ] , [ 1 0 0 1 ] , [ 1 0 0 − 1 ] , [ − 1 0 0 1 ] , [ − 1 0 0 − 1 ] , [ 0 1 1 0 ] , [ 0 − 1 − 1 0 ]
Aluthge transform이라는 개념에서도 행렬의 유리수승을 정의한다고 한다.