正軸體 / Cross-polytope 또는 Orthoplex
기하학 에 등장하는 도형의 일종. n차원 직교좌표계에서
원점으로부터 같은 거리에 있고 각각의 축 위에 있는 꼭지점 을 가진 볼록 정다포체, 또는 그와
닮음 인 도형을 의미한다. 방정식으로는
∑ i = 1 n ∣ x i ∣ = 1 \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i|=1 i = 1 ∑ n ∣ x i ∣ = 1 로 표현된다. n차원 초입방체와 쌍대 관계이다.
n차원 정축체가 있을 때, 각각의 n에 대해 다음과 같다.
(단,
n > m n>m n > m )
n
명칭
꼭짓점의 개수
선분의 개수
면의 개수
3차원 도형의 개수
m차원 다포체의 개수
포의 개수
쌍대 도형
이포각
0
1
1
2
1
2
선분
2
4
4
1
4
정사각형
90º
3
6
12
8
1
8
약 109.47º
4
8
24
32
16
16
120º
n
n-정축체
4 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 \dfrac{4n(n-1)(n-2)}{3} 3 4 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 2 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) 3 \dfrac{2n(n-1)(n-2)(n-3)}{3} 3 2 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) 2 m + 1 n C m + 1 {2^{m+1}}_{n}\mathrm{C}_{m+1} 2 m + 1 n C m + 1 n-입방체
cos − 1 ( 2 − n n ) \cos^{-1}\left(\dfrac{2-n}{n}\right) cos − 1 ( n 2 − n )
한 변의 길이가
a a a 인 n-정축체가 있을 때, (단,
n ≥ 1 , 1 ≤ m ≤ n − 1 n\ge1, 1\le m \le n-1 n ≥ 1 , 1 ≤ m ≤ n − 1 )
m차원 겉부피 =
n C m + 1 _{n}\mathrm{C}_{m+1} n C m + 1 2 m 2 + 1 m + 1 m ! a m \dfrac{2^{\frac{m}{2}+1}\sqrt{m+1}}{m!}a^m\quad m ! 2 2 m + 1 m + 1 a m n차원 초부피 =
2 n n ! a n \dfrac{\sqrt{2}^n}{n!}a^n\quad n ! 2 n a n 언어적으로는
한국어 를 기준으로 할 때, 1차원의 '
점 '이 2차원에서는 '
각 '으로 불리며, 이 각들이 모여 '형'을 이룬다. 다시 이 2차원의 '형'은 3차원에서는 '면'으로 불리며, 이 면들이 모여서 '체'를 이룬다. 4차원에서는 체들이 모여 '포'를 이루지만 최종 결과물은 여전히 '체'로 불린다.
