圓環體 / torus 복수형은 tori. 보통 여러 개의 원환체를 뜻하나 여러개의 hole을 가진 하나의 물체를 $n$-hole tori로 일컫기도 한다.

가운데에 구멍이 뚫린 위상도형. 흔히 '도넛 모양'이라고 한다.[1]

일단 일반적인 도넛 모양인 $1$-hole torus의 개념으로만 기술한다.

위상기하학에서의 기본적인 정의는 $S^1 * S^1$ 으로 두 원의 곱집합과 위상동형(homeomorphism)1-[2] 이다. 따라서 손잡이가 있는 컵은 다음의 그림과 같이 도넛과 위상 동형이라고 할 수 있겠다.

좌표평면(cartesian plane)에서 $\left(x,y\right)~\left(x+1,y\right)~\left(x,y+1\right)$로 각각의 좌표가 modulo 1 덧셈와 같은 효과를 가진 형태이며, 이는 결국 가로 세로가 1인 단위 사각형(unit square)의 각 변을 시계방향을 정방향으로 $aba^{-1}b^{-1}$ 으로 설정한 형태로 정리한 그림이 아래와 같다.

이것을 같은 index를 가진 변끼리 붙여주면 쉽게 3차원의 익숙한 torus가 되므로 이 사각형 역시도 torus와 위상동형의 관계. 이 사각형의 각 꼭지점은 동일한 것은 3차원 공간에서 볼 때 자명하다. 임의의 index가 붙은다각형이 최종적으로 $aba^{-1}b^{-1}$ 의 형태를 갖는다면 1-hole torus로 볼 수 있다는 뜻이다.

굳이 원의 곱집합이라고 해서 일반적인 도넛 모양일 필요는 없다. 회전하는 로봇 팔 ${S^1}_{a}$ 이 회전축과 반대되는 끝을 회전축으로 하는 다른 회전하는 로봇 팔 ${S^1}_{b}$ 과 연결되어있다면 그것만으로도 torus의 정의를 만족할 수 있기 때문에 위상동형[3]이다.

나아가, $n$-hole tori가 있을 수 있는데 이는 n개의 구멍이 뚫려 있는 '하나의' 위상기하학적 물체 혹은 공간으로 $abcd...a^{-1}b^{-1}c^{-1}d^{-1}...$ 으로 표현할 수 있다. 구멍 한개당 index alphabet이 하나씩 더 늘어나는 식으로 기술할 수 있으며 당연히 단위 사각형이 아니라 $2n$각형(역시 모든 꼭지점이 동일하다)으로 표현한다. $1$-hole torus와 마찬가지로 임의의 index가 붙은 다각형이 최종적으로 위와 같은 index 식의 다각형이라면 $n$-hole tori이다.

토러스를 정사영시켰을 경우 바깥쪽 원의 반지름을 $\omicron$, 안쪽 원의 반지름을 $\iota$로 하면

가 성립한다.