원(도형)/방정식

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1. 도출2. 일반형3. 양함수의 형태4. 매개변수 방정식5. 극 좌표계

1. 도출[편집]

2차원 직교 좌표계에서 중심이 O(a, b)\mathrm{O}(a,\,b)이고, 반지름의 길이가 rr인 원을 생각해보자. 원 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 r=(x, y)\mathbf{r}=(x,\,y)라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 r0=(a, b)\mathbf{r}_{0}=(a,\,b)이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 r−r0\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}를 고려할 때

∣r−r0∣=r\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=r

이 원을 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면

∣r−r0∣2=(r−r0)⋅(r−r0)=(x−a)2+(y−b)2=r2\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned}

이 되므로 원을 기술하는 방정식은 다음과 같음을 알 수 있다.

(x−a)2+(y−b)2=r2\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

이 방정식은 아래와 같이 중심이 C\mathrm{C}이고, 반지름이 rr인 원을 나타낸다.

파일:나무_원_방정식_좌표평면.png

2. 일반형[편집]

위에서 도출한 원의 방정식을 표준형이라 한다. 그러나, 위의 식을 모두 전개하여 나타낸 방정식을 일반형이라 하는데, 그 꼴은 아래와 같다.

x2+y2+Ax+By+C=0\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0

이때, A∼CA \sim C는 상수이다. 이제 우리는 위 방정식으로 부터 표준형을 유도해보자. 위의 식을 다시 쓰면,

(x2+Ax+A24)+(y2+By+B24)=A2+B2−4C4\displaystyle \left( x^{2}+Ax+ \frac{A^{2}}{4} \right)+\left( y^{2}+By+ \frac{B^{2}}{4} \right)=\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4}

이상에서

(x+A2)2+(y+B2)2=[A2+B2−4C4]2\displaystyle \left( x+\frac{A}{2} \right)^{2}+\left( y+\frac{B}{2} \right)^{2}=\left[ \sqrt{\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4}} \right]^{2}

따라서 위의 결과로 부터 일반형 방정식은 원의 중심이

C(−A2, −B2)\displaystyle \mathrm{C}\left( -\frac{A}{2},\, -\frac{B}{2} \right)

이고, 반지름이

r=A2+B2−4C2\displaystyle r=\frac{\sqrt{{A^{2}+B^{2}-4C} }}{2}

인 원을 나타냄을 알 수 있다.

표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋은데도 일반형을 계속해서 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다. x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 A, B, CA,\,B,\,C값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다.

3. 양함수의 형태[편집]

원의 방정식의 일반형은 음함수[1] 형태이므로, 우리가 해석적으로 유용하게 분석하려면, 양함수 형태로 바꾸어주어야 한다. 양함수로 바꾸어주게 되면, 아래와 같이 나오게 된다.

f(x)=±r2−(x−a)2+b\displaystyle f(x)=\pm \sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}+b

즉, 부호가 두 개로 나오는데, 이것은 원은 하나의 양함수로 표현할 수 없고, 상반원(아래의 그림에서 '적색 반원')과 하반원(아래의 그림에서 '청색 반원')으로 나누어져 양함수로 표현된다는 것을 알 수 있다. 아래의 그림을 참조하자:

파일:나무_원_방정식_좌표평면_양함수.png

한편, r2r^2을 좌변으로 이항시키고 우변에 00 대신 f(x, y)f(x,\,y)를 넣은 이변수 함수 꼴(f(x, y)=(x−a)2+(y−b)2−r2f(x,\,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^{2})로 만들 수도 있는데, 이 경우 높이가 무한대인 원기둥을 그린다.

4. 매개변수 방정식[편집]

삼각함수가 2차원 원을 이용하여 정의되므로 2차원 원은 삼각함수를 이용하여 나타내면 편리하다. 삼각함수의 정의로부터, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 rr인 원 위에 있는 임의의 점을 (x, y)(x, \, y)라고 하면 θ\theta를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수가 있다.

x=rcos⁡θy=rsin⁡θ\begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned}

일반적으로 중심이 (a, b)(a,\, b)이고, 반지름의 길이가 rr인 원 위의 임의의 점을 (x, y)(x, \, y)라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x=a+rcos⁡θ y=b+rsin⁡θ\begin{aligned} x&=a+r\cos\theta \\ \ y&=b+r\sin\theta \end{aligned}

매개변수를 t≡tan⁡(θ/2)t \equiv \tan{(\theta/ 2)}로 놓으면

cos⁡θ=1−t21+t2 sin⁡θ=2t1+t2\begin{aligned} \cos\theta&={1-t^2 \over 1+t^2} \\ \ \sin\theta&={2t \over 1+t^2} \end{aligned}

이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x=a+r(1−t21+t2)y=b+r(2t1+t2)\displaystyle \begin{aligned} x&=a+r\left( {1-t^2 \over 1+t^2} \right) \\ y&=b+r \left( {2t \over 1+t^2} \right) \end{aligned}

5. 극 좌표계[편집]

극좌표계에서는 거리와 각으로 점의 위치를 나타내므로 원점을 중심으로 하는 원은 방정식이 매우 간단하다. 원점을 중심으로 하지 않는 경우에는 코사인 법칙을 이용해 방정식을 유도한다.

원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 r0 r_0 인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 (r, θ)(r,\, \theta)이라 하면

r=r0\displaystyle r=r_0

이다.

이제 아래의 그림과 같이 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식을 구해보도록 하자.

파일:namu_원_극방정식.png

위 그림과 같이 반지름의 길이가 r0r_{0}이고, 중심이 C(a, ϕ)\mathrm{C}(a,\,\phi)인 원을 고려하자. 위 그림에서 P\mathrm{P}, O\mathrm{O}는 각각 원 위의 한 점, 원점임을 고려하면 삼각형 OCP\mathrm{OCP}는 제2 코사인 법칙을 사용함으로써

r2−2arcos⁡(θ−ϕ)+a2=r02\displaystyle r^2-2ar\cos(\theta-\phi)+a^2={r_0}^2

를 얻을 수 있는데, 이것이 바로 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식이다.
[1] 함숫값이 음수라는 의미가 아닌, 함수의 성질이 숨어 있다(Implict function)는 의미이다.