에어리 함수

분류

\displaystyle \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}-xy=0

을 고려하자. 이 방정식의 해

y

는 두 선형독립의 해

\mathrm{Ai}(x)

\mathrm{Bi}(x)

의 선형 결합으로 쓸 수 있는데, 이 때 두 선형독립의 해를 에어리 함수(Airy function)라 한다. 이 때 각각은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Ai}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \cos \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) {\rm d}t \\ \mathrm{Bi}(x) &= \frac1{\pi} \int_0^{\infty} \biggl( \exp \biggl( -\frac{t^3}{3} +tx \biggr) + \sin \biggl( \frac{t^3}3 +tx \biggr) \!\biggr) {\rm d}t \end{aligned}

여기서

\exp{x} = e^{x}

이다.

다음은 에어리 함수의 개형을 나타낸 것이다.

파일:에어리함수_그래프.png

에어리 함수는 아래와 같은 특징이 있다.

$\mathbf{Ai}\boldsymbol{(x)}$
- 이 함수의 경우 0이 아닌 함숫값[1]이 대부분 $x<0$ 영역에 쏠려 있다는 특징이 있다.
- $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Ai}(x)=0$ 이다.
- $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Ai}(x)=0$ 이다.
- $y$ 절편은 $\displaystyle \frac1{2\sqrt[6]3\pi} \Gamma\biggl(\frac13\biggr)$ 이다.[A]
$\mathbf{Bi}\boldsymbol{(x)}$
- $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \mathrm{Bi}(x)=\infty$ 이다.
- $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \mathrm{Bi}(x)=0$ 이다.
- $y$ 절편은 $\displaystyle \frac{\sqrt[3]3}{2\pi} \Gamma\biggl(\frac13\biggr)$ 이다.[A]
두 함수 모두 $x<0$ 영역에서는 진동하는 경향이 있다.

[1] 사실

x >0

영역에서도 0에 매우 근접할 뿐이지 0은 아니다.[A] ^2.1 ^2.2

\Gamma