오스트리아 대표팀의 붙박이 주전 수비수. 이름에서 알 수 있듯이 세르비아계이다.

아우스트리아 빈 유스팀 출신으로, 그곳에서 프로 데뷔를 가졌다. 어린 나이임에도 주전 선수로 활약한 드라고비치는 2011년 겨울 이적 시장 스위스의 명문 FC 바젤로 이적했다. 바젤에서도 주전 자리를 차지한 드라고비치는 사상 첫 리그 우승을 맛보았다. 11-12 시즌에도 주전 선수로 활약했으며, 리그, 컵 더블과 챔피언스리그 16강에 기여했다. 12-13 시즌에도 리그 우승과 유로파리그 4강이라는 호성적에 기여했고 여러 팀들과 링크가 나기 시작했다.

13-14 시즌을 앞두고 인터 밀란으로의 이적이 유력해 보였으나 의외로 우크라이나의 디나모 키예프와 5년 계약을 맺었다. 첫 시즌에는 우크라이나 컵을 들어올리는데 일조했고, 두번째 시즌인 14-15 시즌에는 6년만에 디나모 키예프가 리그 우승을 하는데 일조했다. 15-16 시즌에도 챔피언스리그 16강에 올라가는데 기여했으며 리그에서 16라운드까지 6실점만 기록하는 철벽 수비의 핵심으로 활약중이다.

8월 24일 분데스리가의 팀인 바이어 04 레버쿠젠으로 5년계약에 1800만 유로의 이적료를 기록하며 이적하였으나 수비의 구멍으로 최악의 시즌을 보낸다.

2017-18시즌을 앞두고 레스터 시티 FC로 1년 임대를 떠나게 되었다.

2019-20시즌에도 전혀 나아지지 못한 폼으로 레버쿠젠의 구멍역할을 충실히 했다.

2020-21시즌에는 폼이 좋아지고 있다. 특히 13라운드 FC 바이에른 뮌헨전 벤더 형제가 빠진 자리에 출전해 에드몽 탑소바, 데일리 싱크흐라번과 함께 벽을 형성했다. 그러나 요나탄 타가 거하게 똥을 싸며 경기는 2대1로 패했다.

2021년 6월을 끝으로 계약이 만료되는데, 아직 계약을 제시받지 못하면서, FC 디나모 모스크바가 그에게 적극적인 관심을 보내고 있다.

2009년 세르비아를 상대로 국가대표팀 데뷔전을 치뤘으며 붙박이 주전 수비수로 활약중이다. 유로 2016 예선에는 전경기 선발 출장하며 18년만에 오스트리아가 자력으로 국제 대회에 진출하는 것을 도왔다. 다만, 본선에서는 조별예선 1차전 헝가리와의 경기에서 경고누적으로 퇴장 당했고[1] 승리가 절실했던 3차전 아이슬란드 전에서 힘들게 얻어낸 페널티킥을 실축하며[2] 오스트리아의 조별예선 탈락 원흉이 되었다.

롱패스를 자주 시도하며, 태클 및 공중볼 다툼 능력도 준수한 편. 하지만 수비에서 어이없는 실수를 하는 경우가 많으며 실수가 계속 나오면 본인도 멘탈이 불안해져서 계속 실수를 연발한다. 로브렌과 상당히 유사한 편. 그러나 신기할정도로 골 결정력이 좋다.

남슬라브 지역에서 쓰이는 드라고비치라는 성은 "Son of drago" 즉 드래곤의 아들이라는 뜻이다.