쌍둥이 소수는 무한히 많을 것이다.

• 브룬의 정리
  브룬은 쌍둥이 소수의 역수의 합은 '수렴한다'는 브룬의 정리를 발표했다. 그 수렴 값은 브룬 상수라고 부른다. 만약 쌍둥이 소수의 역수의 합이 발산하면, 쌍둥이 소수 추측도 참이라는 것이 증명될 수 있었다. 그러나 이 값이 수렴하므로 이 수렴값이 유리수인지 무리수인지를 판별할 필요성이 생겼다. 수렴값이 무리수라면 쌍둥이 소수 추측이 참이지만, 유리수라면 아무 결론도 도출하지 못한다.

• 장이탕(张益唐, 1955~)의 연구 결과
  2013년, 중국의 수학자 장이탕은 두 소수의 간격이 $N$보다 작은 소수쌍이 무한히 많다는 것을 증명하였다. 장이탕은 $N$이 7천만일 때 성립함을 보였다. 다른 수학자들의 공동 연구로 $N$의 값은 계속 줄어들어 $N=246$일 때 성립함이 증명되었다. 만약 $N$을 $2$까지 줄일 수 있다면 쌍둥이 소수 추측이 증명되는 것이다.

• 하디-리틀우드 추측
  소수 계량 함수와 유사하게, x 보다 작은 쌍둥이 소수의 개수를 $\pi_2\left(x\right)$ 라고 할 때 $\displaystyle \pi_2\left(x\right) \approx \rm C \left({x \over {(\ln x)^2}} \right)$ 라고 추측하였다. 그리고, 이 상수 $\rm C$는 다른 수학자들에 의해 0.6601618158...이란 값을 가진다고 계산되었으며 '하디-리틀우드 상수'라는 이름을 가지게 되었다. 하디-리틀우드 추측이 참이 되면, 당연히 쌍둥이 소수 추측도 참이 된다.

• 3, 5
• 5, 7
• 11, 13
• 17, 19
• 29, 31
• 41, 43
• 59, 61
• 71, 73
• 101, 103
• 107, 109
• 137, 139
• 149, 151
• 179, 181
• 191, 193
• 197, 199
• 227, 229
• 239, 241
• 269, 271
• 281, 283
• 311, 313
• 347, 349
• 419, 421
• 431, 433
• 461, 463
• 521, 523
• 569, 571
• 599, 601
• 617, 619
• 641, 643
• 821, 823
• 827, 829
• 857, 859
• 881, 883
• 1019, 1021
• 1031, 1033
• 1049, 1051
• 1061, 1063
• 1091, 1093

• 사촌 소수(Cousin Prime)
• 섹시 소수(Sexy Prime)
  • 세 섹시 소수(Sexy prime triplets)
  • 네 섹시 소수(Sexy prime quadruplets)
  • 다섯 섹시 소수(Sexy prime quintuplets)
• 세 쌍둥이 소수(Prime Triplet) : (p, p+2, p+6) 또는 (p, p+4, p+6) 소수 인 경우.
  • (2, 3, 5) 와 (3, 5, 7) 은 특별히 예외 취급한다.
• 네 쌍둥이 소수(Prime Quadruplet) : (p, p+2, p+6, p+8) 가 모두 소수인 경우. (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) 등이 있다. [3]
• 소피 제르맹 소수 : (p, 2p+1) 이 소수인 경우