Unique Rectangle, Uniqueness, Gordonian Logic
유일성 논법은 잘 만들어진 스도쿠에 정답은 두 개가 존재할 수 없다는 가정을 적극 이용한 고난도 풀이법이다. Gordonian이란 단어는 이 방법을 처음 고안한 사람의 이름에서 따왔다.

먼저 다음의 스도쿠를 보자.

이 스도쿠를 하나 찾기와 제거하기만으로 열심히 풀어보면 다음과 같이 4칸이 남는다.

남아 있는 4칸의 후보 숫자는 모두 4, 6이다. 즉, 다음의 두 가지 정답이 가능하다는 이야기.

유일성 논법은 주어진 스도쿠의 정답이 하나라는 사실이 알려져 있을 때,[1] 유일성에 위배될만할 후보 숫자를 지우는 논법이다.

유일성 논법은 기본적으로 두 상자에 걸쳐 있고 직사각형을 이루는 네 개의 셀을 이용한다.

다음의 예제를 보자. 정답은 유일하다.

[ 정답 보기 ]

1	9	5	4	6	3	8	2	7
4	6	3	2	8	7	5	9	1
7	2	8	1	9	5	4	3	6
2	8	7	3	4	9	6	1	5
9	3	4	6	5	1	7	8	2
6	5	1	8	7	2	9	4	3
3	4	6	7	1	8	2	5	9
5	7	2	9	3	4	1	6	8
8	1	9	5	2	6	3	7	4

하나 찾기와 제거하기를 반복하면 다음과 같이 26개의 칸이 남는다. 또한, 설명을 위해 모든 칸에 후보 숫자를 적었다.

노란색과 초록색으로 표기된 네 개의 셀을 보자. 네 셀은 후보 숫자 3, 6을 공유하고 있으며, 초록색 셀에 한해 후보 숫자 2를 추가로 가지고 있다. 만약 초록색 셀에서 후보 숫자 2를 지워버린다면, 3과 6으로 이루어진 직사각형이 완성된다. 즉, 나머지 77칸에 따라, 이 스도쿠의 정답의 개수는 0일 수도 있으며, 짝수일 수도 있다.

처음에 정답은 유일하다고 했으므로, 초록색 셀에서 2는 올바른 후보 숫자이며, 나머지 3과 6을 지워야 한다.

얼핏 보기엔 엉터리같은 추론이지만 신기하게도 정답이 한개인 스도쿠의 후반부에서는 잘 먹히는 방법이다. 물론 문제 제작자의 미숙으로 정말 정답이 두 개가 나오는 스도쿠 같은 경우는 이 방법이 먹히지 않는다는 것에 주의하자.

4유형은 다른 유일성 논법에 비해 찾기도 어렵고 외울 것도 많지만, 유일성 논법 중 가장 자주 등장한다.

유일성 논법 4유형은 직사각형 내 후보 숫자 간의 강한 링크를 이용한다. 강한 링크를 2개 또는 1개 찾아서 후보 숫자를 지울 수 있으며, 6가지 패턴이 있다. 각각의 패턴에서 어떤 숫자가 지워지는지 정확히 외워야 한다.

위와 같이 4개의 셀에 후보 숫자가 적혀 있다. 이때 x와 y는 1, 2가 아닌 후보 숫자이며, 하나 이상일 수도 있고, 서로 같을 수도 있다.

셀 A2와 셀 C2의 후보 숫자 1이 강한 링크를 이룬다고 하자. 셀 C8이 2일 경우, 셀 A8은 2가 아니므로 1이어야 한다. 또한, 셀 A2가 1이 아니므로, 셀 A2는 2이며, 강한 링크에 의해 셀 C2는 1이다. 즉, 고립된 영역이 형성된다.

따라서 고립된 영역을 없애기 위해, 셀 C8에서 후보 숫자 2를 제거해야 한다.

마찬가지로, 아래와 같은 형태에서도 셀 A2와 셀 A8의 후보 숫자 1이 강한 링크를 이룰 경우, 셀 C8에서 후보 숫자 2를 제거할 수 있다.

4A의 특수한 케이스. 아래와 같은 경우에서 셀 C2와 셀 C8의 후보 숫자 1이 강한 링크를 이룰 경우, 후보 숫자 1에 대해 X-윙이 성립하여 2열과 8열에서도 자동으로 강한 링크를 이룬다. 4A 패턴을 두 번 적용하면, 셀 C2와 셀 C8에서 후보 숫자 2를 제거할 수 있다.

이 패턴은 다른 패턴과 다르게 강한 링크 하나만 가지고 후보 숫자를 제거할 수 있다.

셀 A2와 셀 C2의 후보 숫자 1이 강한 링크를 이룬다고 하자. 셀 A8이 1일 경우, 셀 A2와 C8은 1이 될 수 없으므로 자동적으로 2가 된다. 셀 A2가 1이 아니므로, 강한 링크에 의해 셀 C2가 1이 된다. 즉, 고립된 영역이 형성된다.

따라서 셀 A8에서 후보 숫자 1을 제거한다.

여기부터는 잠재적인 고립된 패턴이 잘 드러나지 않아, 기법 적용에 어려움이 있을 수 있다.

위와 같은 경우에서 후보 숫자 1이 셀 A8과 셀 C8, 그리고 셀 C2와 셀 C8에서 각각 강한 링크를 이룬다고 하자. 셀 C8이 2일 경우, 1이 아니므로 강한 링크에 의해 셀 A8과 C2는 자동적으로 1이 된다. 그러면 셀 A2는 1이 아니므로 2가 된다. 즉, 고립된 영역이 형성된다.

따라서 셀 C8에서 후보 숫자 2를 제거할 수 있다.

위와 같은 경우에서 셀 A2와 셀 A8의 후보 숫자 1이 강한 링크를 이루고, 셀 A8과 셀 C8의 후보 숫자 2가 강한 링크를 이룬다고 하자. 셀 C2가 1일 경우, 셀 A2가 1이 아니므로 셀 A2는 2이고, 강한 링크에 의해 셀 A8은 1이다. 셀 A8이 2가 아니므로, 강한 링크에 의해 셀 C8은 2이다. 즉, 고립된 영역이 형성된다.

따라서 셀 C2에서 후보 숫자 1을 제거할 수 있다.

위와 같은 경우에서 셀 A8과 셀 C8의 후보 숫자 1이 강한 링크를 이루고, 셀 C2와 셀 C8의 후보 숫자 2가 강한 링크를 이룬다고 하자. 셀 A8이 2일 경우, 셀 A2는 1이다. 셀 A8이 1이 아니므로, 강한 링크에 의해 셀 C8은 1이다. 셀 C8이 2가 아니므로, 강한 링크에 의해 셀 C2는 2이다. 즉, 고립된 영역이 형성된다.

같은 방법으로, 셀 C2가 1일 경우에도 고립된 영역이 형성된다. 따라서 셀 A8에서 후보 숫자 2, 셀 C2에서 후보 숫자 1을 제거할 수 있다.

[ 정답 보기 ]

9	4	7	2	8	5	3	1	6
5	2	3	7	6	1	4	9	8
8	1	6	9	3	4	7	5	2
4	6	1	5	2	9	8	7	3
2	9	5	8	7	3	1	6	4
3	7	8	1	4	6	9	2	5
1	5	2	4	9	8	6	3	7
6	8	9	3	5	7	2	4	1
7	3	4	6	1	2	5	8	9

이 퍼즐을 기초 기법과 상호작용, 짝맞추기만으로 풀어보면 다음과 같이 43개의 빈칸이 남는다. 여기서 규칙 4가 적용될만한 곳을 네 군데 찾아보자.

먼저 셀 D1, D3, I1, I3으로 이루어진 직사각형 (편의상 직사각형 DI13으로 부른다.)을 보자. 네 개의 셀은 모두 후보 숫자 1, 4를 포함하고 있으며, 그 중에서 셀 D1과 셀 D3은 1, 4 이외에 다른 후보 숫자가 없다. 또한, 3열을 볼 때, 셀 D3과 셀 I3의 후보 숫자 1은 강한 링크를 갖는다.
따라서 유일성 논법 4A유형에 의해, 셀 I1에서 후보 숫자 4를 제거한다.

다음으로, 직사각형 FG79를 보자. 네 개의 셀은 모두 후보 숫자 5, 6을 포함하고 있으며, 그 중에서 셀 F9과 셀 G7은 5, 6 이외에 다른 후보 숫자가 없다. 또한, 6행과 9열에서 셀 F7과 셀 F9의 후보 숫자 5, 그리고 셀 F9과 셀 G9의 후보 숫자 5는 각각 강한 링크를 갖는다.
따라서 유일성 논법 4C유형에 의해, 셀 G9과 셀 F7에서 후보 숫자 5를 제거하며, 셀 F9는 5로 확정된다.

이번에는 직사각형 GH25를 보자. 네 개의 셀은 모두 후보 숫자 5, 9를 포함하고 있으며, 셀 G2와 셀 H5는 5, 9 이외에 다른 후보 숫자가 없다. 또한, 8행을 보면 셀 H2와 셀 H5의 후보 숫자 5가 강한 링크를 이루고 있으며, 7행과 5열을 보면 셀 G2와 셀 G5의 후보 숫자 9, 그리고 셀 G5와 셀 H5의 후보 숫자 9도 각각 강한 링크를 가진다.
따라서 유일성 논법 4C유형에 의해 셀 G5에서 후보 숫자 5, 셀 H2에서 후보 숫자 9를 제거한다.

마지막으로 직사각형 AD78을 보자. 네 개의 셀은 모두 후보 숫자 1, 6을 포함하고 있으며, 셀 A8은 1, 6 이외의 다른 후보 숫자가 없다. 또한, 직사각형 AD78에서 후보 숫자 1이 X-윙을 이루고 있다.
따라서 유일성 논법 4D유형에 의해, 셀 D7에서 후보 숫자 6을 제거한다.

이후에는 XY-윙과 XY-체인을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

유일성 논법의 정수. 앞의 1 ~ 4유형은 네 개의 셀이 모두 비어 있고 네 셀 모두 특정 후보 숫자 2개를 포함하는 겅우만 다루었다. 그러나 심플 컬러링, XY-윙 등의 기법으로 후보 숫자 하나가 지워졌을 때에도 거의 똑같은 방법으로 유일성 논법을 사용할 수 있다. 각각의 패턴은 1 ~ 4유형과 대응된다.