슈르 부등식

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1. 개요2. 증명3. 일반화4. 관련 문서

1. 개요[편집]

Schur's Inequality.

슈어의 부등식이라고도 한다. 이름은 독일의 수학자 이사이 슈어의 이름을 땄다. 참고로 이 수학자는 잘 알려지지는 않았지만 그의 이름을 딴 여러가지 개념이 많다. 슈어 대수학, 슈어 곱, 슈어 테스트 등등... 이 중 슈르 부등식은 KMO와 같은 수학 경시대회를 준비한다면 보게 될 것이다. 대학 수학과에서도 슈르 부등식을 자세하게 가르치는 경우는 드물다. 그냥 수많은 부등식 중 하나이기 때문. 안습 자세한 부등식의 내용은 아래와 같다.
음이 아닌 실수 a,b,ca,b,c[1]와 r>0r>0에 대하여, ar(a−b)(a−c)+br(b−c)(b−a)+cr(c−a)(c−b)≥0a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq0이다. 등호는 a=b=ca=b=c 또는 a,b,ca,b,c 중 두 개는 같고 나머지 하나는 0일 때 성립한다.

2. 증명[편집]

ar(a−b)(a−c)+br(b−c)(b−a)+cr(c−a)(c−b)a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^r\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)가 대칭식이기 때문에 c≤b≤ac\leq b\leq a라고 두어도 된다.[2] 이 때, f(a)=ar(a−c)f\left(a\right)=a^r\left(a-c\right)라고 정의하면, 음이 아닌 실수 a,b,ca,b,c에 대하여
ddaf(a)=(ar+1−car)′=(r+1)ar−crar−1=(r+1)ar−1(a−rr+1c)≥0\frac{\text{d}}{\text{d}a}f\left(a\right)={\left(a^{r+1}-ca^r\right)}'=\left(r+1\right)a^r-cra^{r-1}=\left(r+1\right)a^{r-1}\left(a-\frac{r}{r+1}c\right)\geq 0가 성립한다. 따라서 f(a)f\left(a\right)는 aa에 대하여 증가함수이고, f(a)≥f(b)f\left(a\right)\geq f\left(b\right)이다. 따라서
ar(a−b)(a−c)−br(a−b)(b−c)=(a−b)(f(a)−f(b))>0a^r\left(a-b\right)\left(a-c\right)-b^r\left(a-b\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)\left(f\left(a\right)-f\left(b\right)\right)>0이고, 여기에 항상 음이 아닌 실수 cr(c−a)(c−b)≥0c^r\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geq 0를 더하면 증명하고자 하는 바가 증명된다.

3. 일반화[편집]

이 슈르 부등식은 일반화가 존재한다. 내용은 아래와 같다.
a,b,ca,b,c가 양의 실수라 하자. 또한 a,b,ca,b,c와 x,y,zx,y,z가 비슷하게 정렬되어 있다고 가정하자.[3] 그러면, a(x−y)(x−z)+b(y−z)(y−x)+c(z−x)(z−y)≥0a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0이 성립한다.
그런데 여기서 또 일반화가 존재한다. 아래 일반화는 2007년 루마니아의 한 수학자에 의해 증명되었다.
실수 a,b,c,x,y,za,b,c,x,y,z에 대하여, a≥b≥ca\geq b\geq c이고 x≥y≥zx\geq y\geq z라고 가정하자.[4] 양의 실수 kk에 대하여 함수 f:f:ℝ→\toℝ0+^+_0가 볼록함수이거나 단조함수라 가정하자. 그러면, f(x)(a−b)k(a−c)k+f(y)(b−a)k(b−c)k+f(z)(c−a)k(c−b)k≥0f\left(x\right)\left(a-b\right)^k\left(a-c\right)^k+f\left(y\right)\left(b-a\right)^k\left(b-c\right)^k+f\left(z\right)\left(c-a\right)^k\left(c-b\right)^k\geq0이 성립한다.
제일 위에 있는 슈르의 부등식은 여기서 x=a,y=b,z=c,k=1,f(x)=xrx=a,y=b,z=c,k=1,f\left(x\right)=x^r인 경우임을 알 수 있다.

4. 관련 문서[편집]


[1] 음이 아닌 실수 a,b,ca,b,c'에 좀 더 제한을 두어 양의 실수 a,b,ca,b,c'에 대한 따름정리를 슈르 부등식이라고 하기도 한다. 만약 a,b,ca,b,c중 하나가 0이라면 증명이 너무 간단해지기 때문.[2] 대칭식에 관한 설명은 인수분해를 참조하자.[3] 크기 순서가 같다는 뜻. 예로 a≤b≤ca\leq b\leq c이면 x≤y≤zx\leq y\leq z를 뜻한다.[4] z≥y≥xz\geq y\geq x라 가정해도 된다.