삼각함수/도함수

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1. 개요2. 주요 삼각함수의 도함수
2.1. sin2.2. cos2.3. tan
3. 역수꼴4. 미분 육각형

1. 개요[편집]

삼각함수의 도함수(미분)를 설명하는 문서이다.

2. 주요 삼각함수의 도함수[편집]

2.1. sin[편집]

ddxsin⁡x\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x
=lim⁡Δx→0sin⁡(x+Δx)−sin⁡xΔx\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(x + \Delta x\right) - \sin x}{\Delta x}\end{aligned}\quad(미분계수 정의 이용)
=lim⁡Δx→0sin⁡xcos⁡Δx+cos⁡xsin⁡Δx−sin⁡xΔx\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \cos\Delta x + \cos x \sin\Delta x - \sin x}{\Delta x}\end{aligned}\quad (삼각함수의 덧셈정리 이용)
=lim⁡Δx→0sin⁡x(cos⁡Δx−1)+cos⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0sin⁡x(1−2sin⁡2Δx2−1)+cos⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0−2sin⁡xsin⁡2Δx2+cos⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0(−sin⁡xsin⁡Δx2sin⁡Δx2Δx2+cos⁡xsin⁡ΔxΔx)\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \left(\cos\Delta x - 1\right) + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \left(1 - 2\sin^2\dfrac{\Delta x}2 - 1\right) + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\sin x \sin^2\dfrac{\Delta x}2 + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\sin x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} + \cos x \frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right) \end{aligned}
=lim⁡Δx→0(−sin⁡xsin⁡Δx2sin⁡Δx2Δx2)+lim⁡Δx→0cos⁡xsin⁡ΔxΔx\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0}\left(-\sin x\sin\dfrac{\Delta x}2 \frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2}\right) + \lim_{\Delta x \to 0} \cos x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad (분배법칙)
=−sin⁡xlim⁡Δx→0sin⁡Δx2lim⁡Δx→0sin⁡Δx2Δx2+cos⁡xlim⁡Δx→0sin⁡ΔxΔx\begin{aligned}&=-\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}2 \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} + \cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}
=−sin⁡x⋅0⋅1+cos⁡x⋅1\begin{aligned}&=\cancel{-\sin x \cdot 0 \cdot 1} + \cos x \cdot 1\end{aligned}\quad(삼각함수의 극한)
=cos⁡x\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}\cos x \end{aligned}

2.2. cos[편집]

ddxcos⁡x\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x
=lim⁡Δx→0cos⁡(x+Δx)−cos⁡xΔx\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \left(x + \Delta x\right) - \cos x}{\Delta x}\end{aligned}\quad (미분계수 정의 이용)
=lim⁡Δx→0cos⁡xcos⁡Δx−sin⁡xsin⁡Δx−cos⁡xΔx\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos\Delta x - \sin x \sin\Delta x - \cos x}{\Delta x}\end{aligned}\quad (삼각함수의 덧셈정리 이용)
=lim⁡Δx→0cos⁡x(cos⁡Δx−1)−sin⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0cos⁡x(1−2sin⁡2Δx2−1)−sin⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δx→0−2cos⁡xsin⁡2Δx2−sin⁡xsin⁡ΔxΔx=lim⁡Δ→0(−cos⁡xsin⁡Δx2sin⁡Δx2Δx2−sin⁡xsin⁡ΔxΔx)\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\cos x \left(\cos \Delta x -1\right) - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\cos x \left(1 - 2\sin^2\dfrac{\Delta x}2 - 1\right) - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\cos x \sin^2\dfrac{\Delta x}2 - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta \to 0} \left(-\cos x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} - \sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right) \end{aligned}
=lim⁡Δx→0(−cos⁡xsin⁡Δx2sin⁡Δx2Δx2)−lim⁡Δx→0sin⁡xsin⁡ΔxΔx\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0}\left(-\cos x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2}\right) - \lim_{\Delta x \to 0} \sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad (분배법칙)
=−cos⁡xlim⁡Δx→0sin⁡Δx2lim⁡Δ→0sin⁡Δx2Δx2−sin⁡xlim⁡Δ→0sin⁡ΔxΔx\begin{aligned}&=-\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}2\lim_{\Delta \to 0}\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} - \sin x\lim_{\Delta \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}
=−cos⁡x⋅0⋅1−sin⁡x⋅1\begin{aligned}&=\cancel{-\cos x \cdot 0 \cdot 1} - \sin x \cdot 1\end{aligned}\quad(삼각함수의 극한)
=−sin⁡x\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}-\sin x \end{aligned}

2.3. tan[편집]

탄젠트 함수 미분을 유도하는 방법은 총 두 가지가 있다.

Sol. 1)
ddxtan⁡x\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x
=ddxsin⁡xcos⁡x\begin{aligned}&= \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\dfrac{\sin x}{\cos x}\end{aligned}
=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x\begin{aligned}&=\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left(-\sin x\right)}{\cos^2x}\end{aligned}\quad(몫미분)
=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x=sec⁡2x\begin{aligned}&=\frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x} \\ &=\frac1{\cos^2x} \\ &={\color{#FE2E64}\sec^2x}\end{aligned}
앞서 도출한 사인함수와 코사인함수의 도함수, 몫미분을 활용한다.

Sol. 2)
ddxtan⁡x\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x
=lim⁡Δx→0tan⁡(x+Δx)−tan⁡xΔx\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan\left(x + \Delta x\right) - \tan x}{\Delta x}\end{aligned}\quad(미분계수 정의 이용)
=lim⁡Δx→0tan⁡x+tan⁡Δx−tan⁡x(1−tan⁡xtan⁡Δx)Δx(1−tan⁡xtan⁡Δx)\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan x + \tan\Delta x - \tan x(1-\tan x \tan\Delta x)}{\Delta x(1-\tan x \tan\Delta x)}\end{aligned}\quad (삼각함수의 덧셈정리 이용)
=lim⁡Δx→0tan⁡x−tan⁡x+tan⁡Δx(1+tan⁡2x)Δx\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cancel{\tan x - \tan x} +\tan\Delta x(1 + \tan^2 x)}{\Delta x}\end{aligned}\quad
=sec⁡2x⋅lim⁡Δx→0tan⁡ΔxΔx\begin{aligned} &=\sec^2 x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad(삼각함수 등식 이용)
=sec⁡2x⋅1\begin{aligned} &=\sec^2 x \cdot 1\end{aligned}\quad(삼각함수의 극한 이용)
=sec⁡2x\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}\sec^2 x \end{aligned}
탄젠트의 덧셈정리를 직접 이용하는 방법도 있다.

3. 역수꼴[편집]

  • ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x = -\csc x \cot x
  • ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x = \sec x \tan x
  • ddxcot⁡x=−csc⁡2x\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x = -\csc^2x
위의 sin, cos, tan함수에 역수를 취하고 몫의 미분법을 사용하면 유도할 수 있다.

4. 미분 육각형[편집]

삼각함수의 도함수를 주입시켜서 외우게 하려고 고안된 육각형이다. 증명 방법과는 전혀 관련이 없으니 유의하자. 이 육각형에서 마주보는 꼭지점이 서로 역수 관계, 즉 csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \dfrac1{\sin x}, sec⁡x=1cos⁡x\sec x=\dfrac1{\cos x}, cot⁡x=1tan⁡x\cot x=\dfrac1{\tan x}이다. 가운데에 그어진 선은 ++, −- 경계선이다.
파일:attachment/삼각함수/삼각함수미분육각형.png
파일:attachment/삼각함수/그림560.png
삼각함수 미분의 육각형
마주보는 꼭지점이 서로 역수관계인 것이 특징

이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 +\boldsymbol+, −\boldsymbol- 부호를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. (이때 이중선은 제곱하라는 뜻이다.) 이 과정을 그림으로 예를 들어 보이면 다음과 같다.
파일:attachment/삼각함수/그림561.png
파일:attachment/삼각함수/그림562.png
파일:attachment/삼각함수/그림563.png
cos⁡\cos 미분
tan⁡\tan 미분
csc⁡\csc 미분
cos⁡\cos이 속한 부호: −-
tan⁡\tan가 속한 부호: ++
csc⁡\csc가 속한 부호: −-
화살표: sin⁡\sin
화살표: sec⁡\sec, sec⁡\sec
화살표: csc⁡\csc, cot⁡\cot