불완전 베타 함수(Incompete beta function)은 다음 적분을 의미한다.3변수 함수이다.
$\displaystyle \Beta\left ( a,b,c \right )=\int_{0}^{a}{x}^{b-1}\left ( 1-x \right )^{c-1} \mathrm{d}x$
베타 함수는 불완전 베타 함수에서 $\displaystyle a=1$인 경우이다.

우선 포흐하머 기호에 대해서 알아보자.
이 함수를 무한급수로 표현할 때 등장하는 식은 하강 계승이다.
따라서
$\displaystyle \left ( a \right )_{b}=\frac{\Gamma\left ( a+b \right )}{\Gamma\left ( a \right )}$이다.
$\displaystyle \Beta\left ( a,b,c \right )={a}^{b}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{a}^{n}\frac{\Gamma\left ( 1-b+n \right )}{\Gamma\left ( 1-b \right )}}{n!\left ( b+n \right )}$
$\displaystyle \Beta\left ( a,b,c \right )=\frac{{a}^{b}}{\Gamma\left ( 1-b \right )}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{a}^{n}\Gamma\left ( n+1-b \right )}{n!\left ( b+n \right )}$
단 위 식은 a의 절댓값이 1 이하일 때만 수렴하는 것으로 보인다.

우선 위 함수의 도함수는 의문의 여지 없이 $\displaystyle 5{x}^{4}$이다.
따라서 우리는 $\displaystyle \int_{0}^{5} \sqrt{1+25{x}^{8}}\,\mathrm{d}x$를 구해줘야 한다.
$\displaystyle \int_{0}^{5}\sqrt{1+25{x}^{8}}\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle x={e}^{\frac{-i \pi}{8}}t=g\left ( t \right )$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}={e}^{\frac{i \pi}{8}}$
$\displaystyle {e}^{\frac{-i \pi}{8}}\int_{0}^{5{e}^{-\frac{i \pi}{8}}}\sqrt{1-25{t}^{8}}\,\mathrm{d}t$
$\displaystyle {25}{t}^{8}=z$
$\displaystyle {t}^{8}=\frac{z}{25}$
$\displaystyle t=\sqrt[8]{\frac{z}{25}}$
$\displaystyle \frac{dt}{dz}={8}^{-1}{5}^{-\frac{1}{4}}{t}^{-\frac{7}{8}}$
$\displaystyle {8}^{-1}{5}^{-\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{i \pi}{8}}\int_{0}^{-25\times{5}^{8}}\left ( 1-t \right )^{\frac{1}{2}}{t}^{-\frac{7}{8}}\,\mathrm{d}t$
$\displaystyle {8}^{-1}{5}^{-\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{i \pi}{8}}\Beta\left ( -25\times{5}^{8},\frac{1}{8},\frac{3}{2} \right )$
값은 대략 3125.673 정도이다.