부호 함수

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1. 개요2. 성질3. 복소 부호 함수4. 기타


1. 개요

파일:나무_부호함수_그래프_수정.png
부호 함수의 그래프 개형

부호 함수(sign(um) function)[1]는 특수함수 중 하나로, 어떤 실수의 부호를 출력하는 함수이다. 기호로는 [math(mathrm{sgn},x)]로 쓰며, 정의는 아래와 같다.


[math(displaystyle mathrm{sgn},x equiv begin{cases}
displaystyle frac{x}{|x|} & text{ if } x neq 0 \
\
0 & text{ if } x=0
end{cases} )]

구체적인 값은 아래와 같다.

[math(displaystyle mathrm{sgn},x=begin{cases}
displaystyle 1 & text{ if } x>0 \
displaystyle 0 & text{ if } x=0 \
-1 & text{ if } x<0
end{cases} )]


보통 점화식에서 특정항의 부호만을 취할 때 사용되는 함수이다.

2. 성질

  1. 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉,

    [math( (mathrm{sgn} circ mathrm{sgn})(a)=mathrm{sgn}, a )]

    가 성립한다.


  2. 부호 함수는 홀함수(Odd function, 기함수)이다. 따라서

    [math( mathrm{sgn} ,x=-mathrm{sgn},(-x) )]

    가 성립한다.


  3. 계단 함수(Step function)의 일종이다.


  4. 불연속점이 [math(x=0)]에서 존재한다. 따라서

    [math( begin{aligned} lim_{x to 0^{+}} mathrm{sgn}, x &=1 neq 0 \ lim_{x to 0^{-}} mathrm{sgn}, x &=-1 neq 0 end{aligned})]

    이므로 [math(displaystyle lim_{x to 0} mathrm{sgn}, x)]는 정의되지 않는다.


  5. 도함수는 디랙 델타 함수에 2를 곱한 값이다. 즉,

    [math( dfrac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} (mathrm{sgn},x) =2 delta (x))]

    이다.


  6. 역도함수는 절댓값 함수이다. 즉,

    [math(displaystyle int mathrm{sgn},x,mathrm{d}x=|x|+C )]

    이다.


  7. 정의역이 복소수인 경우는 [math( { -1,,0,,1 })]이 아닌 다른 값을 띄게 되는데, 이는 복소수의 절댓값이 실수하고는 다르게 정의[4]에 대하여, [math(|z| = sqrt{z z^{ast}} = sqrt{[Re(z) ]^2+[Im(z) ]^2})]이다. 여기서 [math(z^{ast})]는 [math(z)]의 켤레 복소수이다.]되기 때문이다. 다만, 원점과의 거리는 항상 1이 된다.[5]에 대한 부호함숫값 [math({rm sgn} , z)]는 복소평면 상 [math(|z|=1)]의 원판 상에 존재한다.]

3. 복소 부호 함수


[math(displaystyle mathrm{csgn} (z) = begin{cases} dfrac{Re(z)}{|Re(z)|} & mathrm{if} Re(z) neq 0 \ \ dfrac{Im(z)}{|Im(z)|} & mathrm{if} Re(z) =0,, Im(z) neq 0 \ \ 0 & mathrm{if} Re(z) = 0,, Im(z) = 0 end{cases} )]


복소수에서 부호 함수가 '부호 판별'의 기능을 잃어버리기 때문에 복소수에 맞게 재정의한 함수이다.

정의를 보듯, 순허수인 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 나머지는 실수부의 부호를 판별한다.

4. 기타

  • 간단한 정의임에도 중등교육과정 이하에서 코빼기도 보이지 않는 함수이다.[9] 대학 과정에서 푸리에 변환을 배울 때 처음 접한다.
    • 푸리에 변환의 결과로 나오는 함수는 분수함수이다: [math(widehat{rm sgn}(x) = -i/ pi xi)]
  • 컴퓨터과학에서는 음수 값을 1, 양수 값을 0으로 정의한다는 차이점이 있다.[10] 이 정의는 헤비사이드 계단 함수와 천장함수를 사용한 [math(1 - lceil u(x) rceil)] 또는 집합 판별 함수을 사용한 [math(mathbf{1}_{mathbb{R^-}})]과 동치이다.
  • 부호 함수에 x를 곱할 경우에는 x=0에서 미분이 불가능하지만 , x²을 곱한 x²sgn(x)는 전 구간에서 미분이 가능하다.[11]
  • Microsoft Excel에도 부호 함수가 존재한다. SIGN(number).

[1] Signum이라는 이름이 따로 있는 이유는 Sign과 발음이 같은 Sine과 혼동할 수 있기 때문.[2] 복소수 [math(z)[3] 파일:나무_부호함수_복소평면.png
위 그림과 같이 복소평면 상 복소수 [math(z)[4] 복소수 [math(z)[5] 파일:나무_부호함수_복소평면.png
위 그림과 같이 복소평면 상 복소수 [math(z)[6] 정작 수학Ⅱ의 함수의 극한, 함수의 연속 파트에서 부호 함수를 알아야 풀 수 있는 문제가 출제되곤 한다.[7] 정의하는 위치는 MSB(Most Significant Bit), 즉 맨 왼쪽 자리다.[8] 실제로 부호함수에 x를 곱하면 |x| 함수가 되며 , x²을 곱하면 x|x| 함수가 된다. 그 후 0에서 양쪽의 미분계수를 구해보면 된다.[9] 정작 수학Ⅱ의 함수의 극한, 함수의 연속 파트에서 부호 함수를 알아야 풀 수 있는 문제가 출제되곤 한다.[10] 정의하는 위치는 MSB(Most Significant Bit), 즉 맨 왼쪽 자리다.[11] 실제로 부호함수에 x를 곱하면 |x| 함수가 되며 , x²을 곱하면 x|x| 함수가 된다. 그 후 0에서 양쪽의 미분계수를 구해보면 된다.