부분적분/예제

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1. 예제 12. 예제 23. 예제 34. 예제 4

1. 예제 1[편집]

[문제]
ln⁡x\ln{x}의 부정적분을 구하시오.

[풀이 보기]

주어진 피적분함수를 f(x)f(x)로 놓고, 다음과 같이 설정하자.[1]
f(x)=ln⁡xg′(x)=1\displaystyle f(x)=\ln{x} \qquad \qquad g'(x)=1

따라서
f′(x)=1xg(x)=x\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x} \qquad \qquad g(x)=x

이상에서 부분적분 공식에 대입하면,
∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫1x⋅x dx=xln⁡x−x+const.\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,\mathrm{d}x &= x\ln{x}-\int \frac{1}{x} \cdot x\,\mathrm{d}x \\ &=x\ln{x}-x+\mathsf{const.} \end{aligned}

이때, const.\mathsf{const.}는 적분 상수이다.

2. 예제 2[편집]

[문제]
excos⁡xe^{x}\cos{x}의 부정적분을 구하시오.

[풀이 보기]

위에서 다뤘던 LIATE 법칙을 참고하면, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 낫다는 것을 얻는다. 다음과 같이 설정하자.
f(x)=exg′(x)=cos⁡x\displaystyle f(x)=e^{x} \qquad \qquad g'(x)=\cos{x}

따라서
f′(x)=exg(x)=sin⁡x\displaystyle f'(x)=e^{x} \qquad \qquad g(x)=\sin{x}

이상에서 부분적분 공식에 대입하면,
∫excos⁡x dx=exsin⁡x−∫exsin⁡x dx\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}-\int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned}

우리는 우변의 제 2항에 대해 다시 부분적분해야 한다. 함수의 꼴은 같으므로 위와 같은 방법으로 부분적분 하면,
∫exsin⁡x dx=−excos⁡x+∫excos⁡x dx\displaystyle \int e^{x}\sin{x} \,\mathrm{d}x=-e^{x}\cos{x}+\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x

이상에서
∫excos⁡x dx=exsin⁡x+excos⁡x−∫excos⁡x dx\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}\sin{x}+e^{x}\cos{x}-\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x\end{aligned}

이고, 이것을 다시 쓰면,
2∫excos⁡x dx=ex(sin⁡x+cos⁡x)\displaystyle \begin{aligned} 2\int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x = e^{x}(\sin{x}+\cos{x})\end{aligned}

이므로 우리는 부정적분으로 다음을 얻는다:
∫excos⁡x dx=12ex(sin⁡x+cos⁡x)+const.\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+ \mathsf{const.} \end{aligned}

const.\mathsf{const.}는 적분 상수이다.


[별해]
세로셈 방법을 사용한다.
ddx\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}
∫ dx\displaystyle \int \,\mathrm{d}x
++
cos⁡x\cos{x}
exe^{x}
∫excos⁡x dx=\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=
−-
−sin⁡x-\sin{x}
exe^{x}
+excos⁡x\displaystyle +e^{x}\cos{x}
++
−cos⁡x-\cos{x}
exe^{x}
+exsin⁡x\displaystyle +e^{x}\sin{x}
→\rightarrow
−∫excos⁡x dx\displaystyle -\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x

이상에서
∫excos⁡x dx=ex(sin⁡x+cos⁡x)−∫excos⁡x dx\displaystyle \int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x=e^{x}(\sin{x}+\cos{x})-\int e^{x} \cos{x} \,\mathrm{d}x

양변을 이항하고, 정리하면, 다음을 얻는다:
∫excos⁡x dx=12ex(sin⁡x+cos⁡x)+const.\displaystyle \begin{aligned} \int e^{x}\cos{x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2} e^{x}(\sin{x}+\cos{x})+\mathsf{const.} \end{aligned}

3. 예제 3[편집]

[문제]
ln⁡xsin⁡x\ln x \sin{x}의 부정적분을 구하시오.[2]

[풀이 보기]

LIATE 법칙을 참고하면, 미분된 함수를 삼각함수로 놓는 것이 낫다는 것을 얻는다. 다음과 같이 설정하자.
f(x)=ln⁡xg′(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\ln x \qquad \qquad g'(x)=\sin{x}

따라서
f′(x)=1xg(x)=−cos⁡x\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x} \qquad \qquad g(x)=-\cos{x}

이상에서 부분적분 공식에 대입하면,
∫ln⁡xsin⁡x dx=−ln⁡xcos⁡x+∫cos⁡xx dx\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = -\ln{x}\cos{x} + \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x \end{aligned}

그런데 ∫cos⁡xx dx\displaystyle \int \frac{\cos{x}}{x} \,\mathrm{d}x는 [math(mathrm{Ci}(x))]로 쓸 수 있으므로
∫ln⁡xsin⁡x dx=Ci(x)−ln⁡xcos⁡x+const.\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) -\ln{x}\cos{x} + \mathsf{const.} \end{aligned}

const.\mathsf{const.}는 적분 상수이다.

4. 예제 4[편집]

[문제]
∫⌊x⌋ dx2\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2}를 구하시오.
[풀이 보기]

⌊x⌋\lfloor x\rfloor는 불연속이므로 미분계수 쪽으로 옮기는 것이 좋으므로, 스틸체스 적분의 부분적분식에 대입하여
∫⌊x⌋ dx2=⌊x⌋x2−∫1x2 d⌊x⌋\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2} = \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor

의 꼴로 만들자. 이때,
∫1x2 d⌊x⌋=∑1x2=ζ(2)=π26\displaystyle \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}\lfloor x\rfloor &= \sum \frac{1}{x^2} \\&= \zeta(2) \\&= \frac{\pi^2}{6} \end{aligned}

가 성립하므로
∫⌊x⌋ dx2=⌊x⌋x2−π26+const.\displaystyle \int \lfloor x\rfloor \,\frac{\mathrm{d}}{x^2}= \frac{\lfloor x\rfloor}{x^2} - \frac{\pi^2}{6}+ \mathsf{const.}

const.\mathsf{const.}는 적분 상수이고, ζ\zeta는 제타 함수이다.


[1] 이 방법은 역삼각함수, 특수함수에도 똑같이 써먹을 수 있다.[2] 특수함수가 등장하는 적분이다.