베르누이 부등식

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1. 개요2. 증명3. 확장4. 관련 문서

1. 개요[편집]

해석학을 배울 때 반드시 배우게 되는 부등식. 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)가 1689년에 처음 발표하였다. 이 부등식은 (1+x)r\left(1+x\right)^r를 일차함수로 근사할 때 사용하며, 수학의 정석에도 나와있을 정도로 유명하다. 자세한 정리는 아래와 같다.
(1+x)r≥1+rx\left(1+x\right)^r\geq1+rx, 단 x≥−1x\geq-1인 실수, r≥0r\geq0인 정수.
만약 조건을 조금 더 강화시켜 등호를 없앤다면 다음과 같다.
(1+x)r>1+rx\left(1+x\right)^r>1+rx, 단 x≥−1, x≠0x\geq-1,\,x\neq0인 실수, r≥2r\geq2인 정수.
증명은 수학적 귀납법을 사용하는 것이 일반적이다.

2. 증명[편집]

  • 수학적 귀납법
    • 1) r=0r=0일 때, (1+x)0≥1+0⋅x⇔1≥1\left(1+x\right)^0\geq1+0\cdot x \Leftrightarrow 1\geq1이므로 성립.
    • 2) r=kr=k일 때 성립한다 가정하자. 그럼, (1+x)k≥1+kx\left(1+x\right)^k\geq1+kx. 한편, (1+x)k+1=(1+x)k⋅(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+kx+x+kx2=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x\left(1+x\right)^{k+1}=\left(1+x\right)^k\cdot\left(1+x\right)\geq\left(1+kx\right)\left(1+x\right)=1+kx+x+kx^2=1+\left(k+1\right)x+kx^2\geq1+\left(k+1\right)x이므로 r=k+1r=k+1일 때도 성립.
1), 2)에 의하여 r≥0r\geq0인 모든 정수 rr에 대해 부등식이 성립한다.
  • 직접 증명법 : 이항전개해서 비교한다.[1]

3. 확장[편집]


위 부등식으로는 (1+x)r\left(1+x\right)^r를 근사하는게 가능하나, 원래 식보다 작은값으로 밖에 추정을 못한다. 원래 식보다 큰값으로 추정을 하기 위해선 자연로그의 밑 [math(e)]을 활용한다. 곧,
(1+x)r≤erx\left(1+x\right)^r\leq e^{rx}
이다. 증명은 (1+1x)x<e\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e임을 이용하여 간단하게 증명이 가능하다. 이제 이 부등식과 원래 부등식을 합치면,
<tablebgcolor=math>1+rxleqleft(1+xright)^rleq e^{rx}</math>
가 되고, 이는 (1+x)r\left(1+x\right)^r의 근사값을 아주 간단하게 추정할 수 있게 만들어 준다.

그런데 만약 rr이 정수가 아니라 실수라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 rr의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다.
x≥−1x\geq-1일 때, {(1+x)r≥1+rx if r≥1, r≤0(1+x)r≤1+rx if 0≤r≤1\begin{cases} \left(1+x\right)^r\geq1+rx\quad & \text{ if }r\geq1,\,r\leq0 \\ \left(1+x\right)^r\leq1+rx\quad & \text{ if }0\leq r\leq1\end{cases}
증명은 미분을 이용하여 간단하게 할 수 있으니 직접 해보자.

4. 관련 문서[편집]

[1] 이건 r이 정수일 때나 통하지 정수 아니면 일반적으로 이항전개는 안 먹히므로 위의 방법이 조금은 더 실용적이다.