바이어슈트라스 타원 함수

문서의 이전 버전(r5)을 보고 있습니다.

역사 raw
대문 랜덤 문서 최근 토론
분류
바이어슈트라스가 만든 병리적 함수에 대한 내용은 바이어슈트라스 함수 문서를 참고해 주세요
카를 바이어슈트라스가 만든 특수함수의 하나로, ℘\wp[1]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.

℘(z)≡z−2+∑ℓ∈Λ−{0}((z−ℓ)−2−ℓ−2)\displaystyle \wp(z) \equiv z^{-2} + \sum_{\ell \in \Lambda - \{0\} } ((z-\ell)^{-2} - \ell^{-2} )

ℓ\ell은 격자점, Λ\Lambda은 ℓ\ell의 집합이다.

복소수 위에서 매끄러운 함수다. 즉 해석함수이면서 무한번 미분이 가능하고, 연속이다.

이를 나타낸 그래프는 다음과 같다. 그래프를 보듯 모든 복소수에서 주기성을 띤다.

파일:Weierstrass_elliptic_function_P.png

이름과는 달리 타원과는 별 상관없다. 이 함수는 타원곡선과 관련이 있는데, 복소공간에서 타원곡선 형태의 아래 식이 성립하기 때문.

[℘′(z)]2=[℘(z)]3+A℘(z)+B[ \wp'(z) ]^2 = [ \wp(z) ]^3 + A \wp(z) + B

이 함수의 그래프는 원환체(일명 도넛 모양)임이 알려져 있다.

&와 비슷하게 저 ℘\wp를 예쁘게 쓰기 어렵다. 그래서 귀찮으면 PP로 쓰기도 하는 모양.
[1] 흘려 쓴 소문자 P. 오로지 이 함수를 위해 만든 기호인지 다른 용도로는 쓰임이 없다. 참고로 이 기호를 출력하는 TeX 명령어는 \wp다.