원과 두 점에서 만나는 직선.

할선을 그었을 때 원 안쪽의 할선은 현, 원 테두리의 곡선은 호라고 하며, 원 위에 할선을 그으면 호와 현으로 둘러싸인 활꼴이 만들어지게 된다. 이때, 원에서 가장 큰 할선을 지름이라고 한다. 할선에서 수직이등분선을 그릴 때, 할선과 호의 거리가 가장 짧은 선분이 시가 된다.

접선과의 관계에 대해 알아보자면, 원과의 교점이 두 개인 직선이 할선이고, 접선은 교점이 한 개이다. 접선에 비해서 아무렇게나 찍찍 그리면 만들어져서 별로 중요해보이지 않을 수 있지만 원에서의 다양한 용어들을 정의하는데 유용하다. 접선 문서에서도 언급되어 있지만 접선을 원과 할선의 두 점의 거리를 0으로 수렴시킨 극한으로 인식하는 경우도 있다.

수학(2015)에서 원에 관련된 단원이 나오므로 자주 볼 수 있다. 기본적으로 판별식 D나 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 원의 반지름보다 커야 한다는 것을 이용한다.

현은 따로 [math(mathrm{crd},x)]라는 표기를 하기도 한다.

좌표평면에서 할선은 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기, 원 밖의 두 점 등으로 결정될 수 있는데, 이때 기울기나 두 점의 위치에 따라서 할선이 생길 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다.

파일:cir.png
원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 가정하고, 그 원의 한 할선을 [math(x=k)] (단, [math(0<k<1)])라 하자. 이때 할선 오른쪽의 넓이는 부채꼴 [math(rm AOB)]의 넓이에서 이등변삼각형 [math(rm AOB)]의 넓이를 뺀 값과 같다. [math(overline{rm AO})]와 [math(overline{rm OC})]가 이루는 각의 크기를 [math(theta)]라 하면 [math(cos theta = k =)] ([math(overline{rm OC})]의 길이)가 성립하고, 부채꼴의 넓이는 [math(dfrac{1 cdot 1 cdot 2theta}{2} = theta)]이고, 이등변삼각형의 넓이는 [math(k cdot)] ([math(overline{rm AB})]의 길이) [math( /,2 = k cdot dfrac{2,mathrm{crd},theta}{2} = k sin theta)]이다. 따라서 할선 오른쪽 부분의 넓이는 [math(theta - k sin theta)]가 되는데, 여기서 [math([sin theta]^2 + [cos theta]^2 = 1)]이므로 [math(sin theta = sqrt{1 - k^2})]이고, [math(k = cos theta)] 이므로 [math(theta = arccos k)]이다. 따라서 식을 변형하면 [math(arccos k - ksqrt{1-k^2})] 가 되며, 이는 할선으로 분할된 두 부분 중 크지 않은 부분의 넓이이다. 반대로 작지 않은 부분의 넓이는 원의 넓이에서 크지 않은 부분의 넓이를 뺀 것이므로 [math(pi - arccos k + ksqrt{1-k^2})] 이다.

반지름이 [math(a)] (단, [math(a>0)])인 원의 경우 넓이가 [math(a^2)]배가 되고, 중심을 원점으로 잡는다면 [math(x=k)]가 할선이 되기 위한 양수 [math(k)]의 범위는 [math((0,,a))]가 되므로 [math(k)] 대신 원의 중심 [math(rm O)]에서 할선에 수직인 방향으로 직선을 그렸을 때 할선과의 교점을 [math(rm A)], 할선 방향으로의 원과의 교점을 [math(rm B)]라 할 때 [math(overline{rm OA})]와 [math(overline{rm OB})]의 길이의 비를 이용하면 된다. 이때는 분할된 두 영역 중 크지 않은 부분의 넓이가 [math(a^2(pi- arccos k+ksqrt{1-k^2}))]가 된다.

원의 중심을 지나는 할선으로 구분된 두 영역의 넓이는 서로 같은데, 상술한 식 [math(a^2(pi- arccos k+ksqrt{1-k^2}))]에 k=0을 대입하면 넓이는 [math(dfrac{a^2}{2} pi)]임을 알 수 있고, 이는 원의 넓이의 절반에 해당한다.

割線法 / Secant Method

방정식의 근을 찾는 방법 중 하나로, 여기서는 원 대신 해당 방정식의 곡선에 대한 할선, 즉 곡선과의 교점이 2개인 직선을 의미한다. 방정식을 [math(f(x)=0)]의 꼴로 만든 후 [math(f(x))]의 함숫값 2개를 이용하며, 다음의 식으로 정의된다.

예를 들어 [math(y=x^2)]와 [math(y=x)]의 교점을 찾는 경우, 근을 찾기 위해서 [math(x^2-x=0)]이라는 식을 이용할 수 있고 이를 [math(f(x))]라 하면 [math(f(x)=x^2-x=0)]의 해를 구해야 한다. 함숫값을 [math(x_1=2,,x_2=3)]이라고 하면 다음과 같다. [math(n=7)] 정도까지 [math(displaystyle lim_{n to infty} f(x_n))]이 수렴한다는 것을 파악하기 어렵지만 그 이후에는 수렴하는 모습을 보인다. 실근은 [math(x=0)] 또는 [math(x=1)]이지만 [math(x=0)]에 수렴하므로 모든 실근을 찾으려면 함숫값을 다양하게 설정해야 한다.