[목차] {{{+2 割線 / Secant line, Chord}}} == 개요 == [[원(도형)|원]]과 두 점에서 만나는 [[직선]]. == 특징 == 할선을 그었을 때 [[원]] 안쪽의 할선은 [[현]], 원 테두리의 곡선은 [[호]]라고 하며, 원 위에 할선을 그으면 호와 현으로 둘러싸인 [[활꼴]]이 만들어지게 된다. 이때, 원에서 가장 큰 할선을 [[지름]]이라고 한다. 할선에서 수직이등분선을 그릴 때, 할선과 호의 거리가 가장 짧은 선분이 시가 된다. [[접선]]과의 관계에 대해 알아보자면, 원과의 [[교점]]이 두 개인 직선이 할선이고, 접선은 교점이 한 개이다. 접선에 비해서 아무렇게나 찍찍 그리면 만들어져서 별로 중요해보이지 않을 수 있지만 원에서의 다양한 용어들을 정의하는데 유용하다. [[접선]] 문서에서도 언급되어 있지만 접선을 원과 할선의 두 점의 거리를 0으로 수렴시킨 극한으로 인식하는 경우도 있다. [[수학(2015)]]에서 원에 관련된 단원이 나오므로 자주 볼 수 있다. 기본적으로 판별식 D나 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 원의 반지름보다 커야 한다는 것을 이용한다. 현은 따로 [math(\mathrm{crd}\,x)]라는 표기를 하기도 한다. == 할선의 결정 == 좌표평면에서 할선은 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기, 원 밖의 두 점 등으로 결정될 수 있는데, 이때 기울기나 두 점의 위치에 따라서 할선이 생길 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다. * 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기 : 원과 접할 때의 기울기를 각각 m, m'(m<m')라 하면 할선이 생기기 위해서는 기울기 M이 m<M<m'이어야 한다. 단, 그 점에서 y축 방향과 평행한 직선이 접선 또는 할선이라면 이야기가 달라지는데, 접선인 경우는 나머지 접선의 기울기 m이 음수이면 M<m이어야 하고, 양수이면 M>m이어야 한다. 할선이라면 나머지 접선의 기울기가 각각 m(<0), m'(>0)인 경우 M<m 또는 M>m'이어야 한다. * 원 밖의 두 점의 위치 : 두 점을 잇는 직선의 방정식과 원의 방정식을 연립하여 이차방정식을 세운 후, 그 이차방정식의 판별식의 값이 0보다 크면 [[교점]]이 2개이므로 할선이 만들어진다. 눈대중으로 파악하거나 연필과 자를 이용하여 두 점을 직접 연결하는 직관적인 방법도 있다. == 활꼴의 넓이 == [[파일:cir.png]] 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 가정하고, 그 원의 한 할선을 [math(x=k)] (단, [math(0<k<1)])라 하자. 이때 할선 오른쪽의 넓이는 부채꼴 [math(\rm AOB)]의 넓이에서 이등변삼각형 [math(\rm AOB)]의 넓이를 뺀 값과 같다. [math(\overline{\rm AO})]와 [math(\overline{\rm OC})]가 이루는 각의 크기를 [math(\theta)]라 하면 [math(\cos \theta = k =)] ([math(\overline{\rm OC})]의 길이)가 성립하고, 부채꼴의 넓이는 [math(\dfrac{1 \cdot 1 \cdot 2\theta}{2} = \theta)]이고, 이등변삼각형의 넓이는 [math(k \cdot)] ([math(\overline{\rm AB})]의 길이) [math( /\,2 = k \cdot \dfrac{2\,\mathrm{crd}\,\theta}{2} = k \sin \theta)]이다. 따라서 할선 오른쪽 부분의 넓이는 [math(\theta - k \sin \theta)]가 되는데, 여기서 [[피타고라스 정리|[math([\sin \theta]^2 + [\cos \theta]^2 = 1)]]]이므로 [math(\sin \theta = \sqrt{1 - k^2})]이고, [math(k = \cos \theta)] 이므로 [math(\theta = \arccos k)]이다. 따라서 식을 변형하면 [math(\arccos k - k\sqrt{1-k^2})] 가 되며, 이는 할선으로 분할된 두 부분 중 크지 않은 부분의 넓이이다. 반대로 작지 않은 부분의 넓이는 원의 넓이에서 크지 않은 부분의 넓이를 뺀 것이므로 [math(\pi - \arccos k + k\sqrt{1-k^2})] 이다. 반지름이 [math(a)] (단, [math(a>0)])인 원의 경우 넓이가 [math(a^2)]배가 되고, 중심을 원점으로 잡는다면 [math(x=k)]가 할선이 되기 위한 양수 [math(k)]의 범위는 [math((0,\,a))]가 되므로 [math(k)] 대신 원의 중심 [math(\rm O)]에서 할선에 수직인 방향으로 직선을 그렸을 때 할선과의 교점을 [math(\rm A)], 할선 방향으로의 원과의 교점을 [math(\rm B)]라 할 때 [math(\overline{\rm OA})]와 [math(\overline{\rm OB})]의 길이의 비를 이용하면 된다. 이때는 분할된 두 영역 중 크지 않은 부분의 넓이가 [math(a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2}))]가 된다. 원의 중심을 지나는 할선으로 구분된 두 영역의 넓이는 서로 같은데, 상술한 식 [math(a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2}))]에 k=0을 대입하면 넓이는 [math(\dfrac{a^2}{2} \pi)]임을 알 수 있고, 이는 원의 넓이의 절반에 해당한다. == 할선법 == {{{+2 割線法 / Secant Method}}} 방정식의 근을 찾는 방법 중 하나로, 여기서는 원 대신 해당 방정식의 곡선에 대한 할선, 즉 곡선과의 교점이 2개인 직선을 의미한다. 방정식을 [math(f(x)=0)]의 꼴로 만든 후 [math(f(x))]의 함숫값 2개를 이용하며, 다음의 식으로 정의된다. [math({x}_{n}=\dfrac{{x}_{n-2}f({x}_{n-1})-{x}_{n-1}f({x}_{n-2})}{f({x}_{n-1})-f({x}_{n-2})})] 예를 들어 [math(y=x^2)]와 [math(y=x)]의 교점을 찾는 경우, 근을 찾기 위해서 [math(x^2-x=0)]이라는 식을 이용할 수 있고 이를 [math(f(x))]라 하면 [math(f(x)=x^2-x=0)]의 해를 구해야 한다. 함숫값을 [math(x_1=2,\,x_2=3)]이라고 하면 다음과 같다. [math(n=7)] 정도까지 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n))]이 수렴한다는 것을 파악하기 어렵지만 그 이후에는 수렴하는 모습을 보인다. 실근은 [math(x=0)] 또는 [math(x=1)]이지만 [math(x=0)]에 수렴하므로 모든 실근을 찾으려면 함숫값을 다양하게 설정해야 한다. || [math(n)] || [math(x_n)] || [math(f(x_n)=(x_n)^2-x_n)] || || 1 || 2 || 2 || || 2 || 3 || 6 || || 3 || -1.5 || 3.75 || || 4 || 9 || 72 || || 5 || 2.076... || 2.236... || || 6 || -1.854... || 5.295... || || 7 || -4.951... || 29.471... || || 8 || 1.176... || 0.207... || || 9 || -1.220... || 2.708... || || 10 || -1.375... || 3.268... || || 11 || 0.466... || -0.248... || || 12 || -0.336... || 0.449... || || 13 || -0.180... || 0.213... || || 14 || 0.040... || -0.038... || == 기타 == * [[문화어]]로 '가름선'이라고 한다. * 할선 n개를 이용하여 원을 최대 몇 개의 영역으로 구분할 수 있는지에 대한 문제가 수학 시험에 간혹 출제된다. 할선이 n개 그려져 있을 때 1개의 할선을 더 그리면 (n+1)개의 영역을 추가할 수 있다는 점과 맨 처음에 1개의 영역이 있다는 점을 이용하면, n개의 할선으로 1+1+2+3+...+n=(n^^2^^+n+2)/2개의 영역으로 구분할 수 있다는 것을 알 수 있다. * 원과 현 사이의 거리와 원의 반지름을 이용하여 [[피타고라스 정리]]를 통해 현의 길이를 구할 수 있으며, 각종 수학 시험에서 응용 문제로 간혹 등장한다. * 어떤 정다각형의 대각선은 그 정다각형에 외접하는 원의 현이며, 이를 연장하면 할선이 된다. * 금지를 의미하는, 원 안에 [[대각선]]이 있는 표시에서 그 대각선은 원의 현이며, ⊘ 기호에서 직선 부분은 가운데 부분의 원의 할선의 일부처럼 보인다. == 관련 문서 == * [[원(도형)]] * [[접선]] * [[방멱의 정리]] * [[현]] [[분류:기하학]][[분류:나무위키 수학 프로젝트]]