1. 개요
Planck length
플랑크 단위의 일종. 광속 [math(c)], 디랙 상수 [math(hbar)], 중력 상수 [math(G)]를 이용하여 차원 분석을 통해, 길이 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1]인 물리 상수이다.] 인위적으로 조합된 길이이다. [math(l_{rm P})]로 나타내며[2]의 손글씨가 숫자 [math(1)], 로마자 대문자 [math(I)]와 혼동되는 것을 피하기 위해 [math(ell_{rm P})]로 표기하는 경우도 더러 있다.] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.
플랑크 단위의 일종. 광속 [math(c)], 디랙 상수 [math(hbar)], 중력 상수 [math(G)]를 이용하여 차원 분석을 통해, 길이 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1]인 물리 상수이다.] 인위적으로 조합된 길이이다. [math(l_{rm P})]로 나타내며[2]의 손글씨가 숫자 [math(1)], 로마자 대문자 [math(I)]와 혼동되는 것을 피하기 위해 [math(ell_{rm P})]로 표기하는 경우도 더러 있다.] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.
[math(begin{aligned}l_{rm P} &= sqrt{dfrac{hbar G}{c^3}} \ &= 1.616,255(18)times10^{-35}rm,mend{aligned})]
|
2. 유도
[math(c)], [math(hbar)], [math(G)]의 단위 및 차원은 다음과 같다.
물리 상수
| 단위
SI 기본 단위 표기 | 차원
|
[math(c)]
| [math(rm m!cdot!s^{-1})]
| [math(sf LT^{-1})]
|
[math(hbar)]
| [math(begin{matrix}rm J!cdot!s!cdot!rad^{-1} \ begin{aligned}&= rm(kg!cdot!m^2s^{-2})!cdot!s!cdot!rad^{-1} \&=rm kg!cdot!m^2s^{-1}rad^{-1}end{aligned}end{matrix})]
| [math(sf ML^2T^{-1})]
|
[math(G)]
| [math(begin{matrix}rm N!cdot!m^2kg^{-2} \ begin{aligned}&= rm(kg!cdot!m!cdot!s^{-2})m^2kg^{-2} \&=rm kg^{-1}m^3s^{-2}end{aligned}end{matrix})]
| [math(sf M^{-1}L^3T^{-2})]
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위 상수들을 조합해서 계산해보면 [math(dfrachbar c)]의 차원이 [math(sf ML)]이 됨을 쉽게 알 수 있다. 플랑크 질량 [math(m_{rm P})]는 차원이 [math(sf M)]이며 [math(m_{rm P} = sqrt{dfrac{hbar c}G})]이므로 [math(l_{rm P})]는 [math(dfrachbar c)]를 [math(m_{rm P})]로 나눈 값, 즉 [math(l_{rm P} = dfrachbar{m_{rm P}c} = dfrachbar csqrt{dfrac G{hbar c}} = sqrt{dfrac{hbar G}{c^3}})]로 정의된다.
3. 의의
우리 우주의 근간을 구성하는 물리 법칙[3]는 광속 불변성에 따라 어느 계에서든 일정한 값이며, [math(hbar)]는 불확정성 원리와 관련된 상수이고, [math(G)]는 질량을 가진 모든 물질에 작용하는 만유인력의 비례상수이다.]에 연관된 상수를 조합하여 차원이 [math(sf L)]이 되도록 조합된 길이이므로, 우리 우주에서 측정 가능하며 유의미한 최소한의 길이라는 의미를 내포하고 있다.
또한, 플랑크 단위계를 쓰면 불확정성 원리에 따라 [math(sigma_x sigma_p ge dfrachbar2)]이므로 플랑크 길이 수준의 정확도를 추구하면 필연적으로 운동량의 표준편차의 최솟값이 플랑크 운동량 [math(p_{rm P})]의 절반이라는 결론이 얻어진다.[4]이므로 [math(sigma_pgedfrachbar{2l_{rm P}} = dfrachbar{2sqrt{dfrac{hbar G}{c^3}}} = dfrac12sqrt{dfrac{hbar c^3}G} = dfrac12sqrt{dfrac{hbar c}G}c = dfrac12m_{rm P}c = dfrac12p_{rm P})]이다. 여기서 [math(m_{rm P})]는 플랑크 질량이다.] 소립자 수준에서 이런 오차가 나온다는 것은 터무니없는 수치나 다름없다.
질량이 플랑크 질량인 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름은 정확히 플랑크 길이의 2배가 되며, 콤프턴 파장 [math(lambda_{rm C})]는 [math(lambda_{rm C} = 2pi l_{rm P})]라는 관계가 성립한다. 특히 [math(lambda_{rm C} = dfrac h{mc})]를 [math(2pi)]로 나누면 [math(hbar = dfrac h{2pi})]이므로 [math(dfrac{lambda_{rm C}}{2pi} = dfrachbar{mc})]가 되는데, 마치 [math(h)]와 [math(hbar)]의 관계처럼 이를 [math(;bar{}!!!:lambda_{rm C})]로 나타내며 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 한다. 유도 항목에서 전술한 것처럼 [math(l_{rm P} = dfrachbar{m_{rm P}c})]이므로 질량이 [math(m_{rm P})]인 블랙홀의 환산 콤프턴 파장은 곧 플랑크 길이와 같다는 것을 알 수 있다.
또한, 플랑크 단위계를 쓰면 불확정성 원리에 따라 [math(sigma_x sigma_p ge dfrachbar2)]이므로 플랑크 길이 수준의 정확도를 추구하면 필연적으로 운동량의 표준편차의 최솟값이 플랑크 운동량 [math(p_{rm P})]의 절반이라는 결론이 얻어진다.[4]이므로 [math(sigma_pgedfrachbar{2l_{rm P}} = dfrachbar{2sqrt{dfrac{hbar G}{c^3}}} = dfrac12sqrt{dfrac{hbar c^3}G} = dfrac12sqrt{dfrac{hbar c}G}c = dfrac12m_{rm P}c = dfrac12p_{rm P})]이다. 여기서 [math(m_{rm P})]는 플랑크 질량이다.] 소립자 수준에서 이런 오차가 나온다는 것은 터무니없는 수치나 다름없다.
질량이 플랑크 질량인 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름은 정확히 플랑크 길이의 2배가 되며, 콤프턴 파장 [math(lambda_{rm C})]는 [math(lambda_{rm C} = 2pi l_{rm P})]라는 관계가 성립한다. 특히 [math(lambda_{rm C} = dfrac h{mc})]를 [math(2pi)]로 나누면 [math(hbar = dfrac h{2pi})]이므로 [math(dfrac{lambda_{rm C}}{2pi} = dfrachbar{mc})]가 되는데, 마치 [math(h)]와 [math(hbar)]의 관계처럼 이를 [math(;bar{}!!!:lambda_{rm C})]로 나타내며 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 한다. 유도 항목에서 전술한 것처럼 [math(l_{rm P} = dfrachbar{m_{rm P}c})]이므로 질량이 [math(m_{rm P})]인 블랙홀의 환산 콤프턴 파장은 곧 플랑크 길이와 같다는 것을 알 수 있다.