Poincaré disk model

앙리 푸앵카레가 쌍곡 공간을 설명하기 위해 도입한 모델.

반지름이 1인 원판 위에서 다음의 설정을 주어 만드는 공간이다.

이 이상한 설정의 정당성은 다음과 같이 비직관적인 '거리'의 세팅에서 온다.

대충 이야기하자면 원판의 원점에서 출발해서 0.01만큼 갔을 때 원판상에서도 대략 0.01만큼[3] 움직인 것처럼 보이지만, 만약 절반 정도까지 왔으면 3/4배의 배율이 적용되어 0.01만큼 이동했다고 해도 원판상에서는 0.0075밖에 못 간 것이다. 만약 원판의 중심에서 0.99만큼 떨어져 있다면 원판 안에서의 거리 배율 차이는 약 50배가 되어, 원반 안에서 0.01을 갔다고 생각해도 밖에서는 그 1/50밖에 간 걸로 안 보인다. 이 배율은 원반 끝으로 갈수록 증가하므로, 아무리 걸어나가도 원반 안에서는 결코 끝에 도달할 수 없다. 즉 푸앵카레 원반 안의 세계는 무한히 뻗어나가 있으며 그 넓이도 무한하다.

사실 푸앵카레 원반에서의 선분 개념도 위 거리 개념을 적용했을 때의 최단 거리[4]으로 유도되어 나오는 것이다. 물론 엄밀히 이걸 증명하려면 미분기하학을 알아야 한다. (사실 구면에서 대원이 최단거리라는 것을 증명하는 것도 마냥 쉽지만은 않다.) 또한 평행선 공리를 제외하고는 모든 공리를 만족시킨다는 것을 보일 수 있다. 따라서 평행공리와 연관된 부분만을 제외한다면 의외로 친숙하게 느낄 수 있는 공간이다.

푸앵카레 원반에는 아래와 같이 다양한 성질들이 있다.

수학자들에게 추앙받는 예술가 에셔의 다양한 작품들(특히 Circle Limit 계열)이 푸앵카레 원반을 사용한 것으로, 삼각형으로 푸앵카레 원반을 테셀레이션한 모양을 띄고 있다. 겉으로 보면 전혀 그렇게 안 보이지만, 원반 안의 삼각형들은 모든 각의 크기가 같고 변의 길이도 같은 합동이다. 물론 각의 크기가 같다고 정해질 필요는 없다. 각이 얼마든지 작아질 수 있으므로 한 점 주변에 똑같은 삼각형을 몇 개든지 붙일 수 있는 것이다. 이걸 계속 쳐다보면 쌍곡평면이 어떻게 생겼는지 나름 느낌이 올지도 모른다