[include(틀:기하학·위상수학)] [목차] ||<tablealign=center><bgcolor=#FFFFFF> [[파일:external/www.reed.edu/CLIV.jpg|width=360]] || || 푸앵카레 원반을 나타내는 [[마우리츠 코르넬리스 에스허르]]의 작품 || == 개요 == {{{+1 Poincaré disk model}}} [[앙리 푸앵카레]]가 [[비유클리드 기하학#s-2|쌍곡 공간]]을 설명하기 위해 도입한 모델. == 설명 == 반지름이 1인 [[원(도형)|원판]] 위에서 다음의 설정을 주어 만드는 공간이다. * 점: 열린 원판 위의 점 (경계는 포함하지 않는다.) * 직선: (1) 원판의 중심을 지나는 직선 또는 (2) 원판과 '''직교하는 원'''[* 직교원(orthogonal circles)이란 두 원의 교점에서 접선을 그었을 때 직각으로 만나는 두 원을 말한다.] 중 원판의 내부에 속해있는 원호 * 선분: 위에서 정의한 직선의 일부분 * 각: 두 곡선에서 그은 (통상적) 접선이 이루는 각 이 이상한 설정의 정당성은 다음과 같이 비직관적인 '거리'의 세팅에서 온다. * 거리: 원점에서 멀어질수록 거리의 배율이 무한히 높아진다. 정확히 말하면 원점에서부터 거리가 [math(r = \sqrt{x^2+y^2})]인 곳에서 거리의 배율은 [math(\displaystyle \frac{1}{1-r^2})]이 된다. 리만 기하학 관점에서 엄밀하게 서술한다면 리만 계량(Riemannian metric)이 [math(\displaystyle ds^2 = \frac{dx^2+dy^2}{(1-r^2)^2})]로 주어진다고 얘기할 수 있다. 대충 이야기하자면 원판의 원점에서 출발해서 0.01만큼 갔을 때 원판상에서도 대략 0.01만큼[* '대략'이라고 한 이유는 원점에서 이동하면서 동시에 거리가 미묘하게 바뀌기 때문이다.] 움직인 것처럼 보이지만, 만약 절반 정도까지 왔으면 3/4배의 배율이 적용되어 0.01만큼 이동했다고 해도 원판상에서는 0.0075밖에 못 간 것이다. 만약 원판의 중심에서 0.99만큼 떨어져 있다면 원판 안에서의 거리 배율 차이는 약 50배가 되어, 원반 안에서 0.01을 갔다고 생각해도 밖에서는 그 1/50밖에 간 걸로 안 보인다. 이 배율은 원반 끝으로 갈수록 증가하므로, 아무리 걸어나가도 원반 안에서는 결코 끝에 도달할 수 없다. 즉 푸앵카레 원반 안의 세계는 무한히 뻗어나가 있으며 그 넓이도 무한하다. 사실 푸앵카레 원반에서의 선분 개념도 위 거리 개념을 적용했을 때의 최단 거리[* 정확히 말하면 [[측지선]](geodesic)]으로 유도되어 나오는 것이다. 물론 엄밀히 이걸 증명하려면 미분기하학을 알아야 한다. (사실 구면에서 대원이 최단거리라는 것을 증명하는 것도 마냥 쉽지만은 않다.) 또한 평행선 공리를 제외하고는 모든 공리를 만족시킨다는 것을 보일 수 있다. 따라서 평행공리와 연관된 부분만을 제외한다면 의외로 친숙하게 느낄 수 있는 공간이다. 푸앵카레 원반에는 아래와 같이 다양한 성질들이 있다. * 푸앵카레 원반도 의외로 균일한(homogeneous) 공간이다. 길이가 같은 선분 AB와 CD가 있을 때, AB를 CD로 겹쳐 놓는 합동변환이 존재한다. 이건 공리에도 있는 거지만, 처음 볼때는 원반의 중심과 경계에 가까운 점 위에서의 상황이 동일하다는 것이 어색할 수도 있다. * 대신에 닮음변환의 개념이 없다. 정확히 말하면 닮음이 존재하는 세계에서는 평행선 공리가 증명되어 버린다. * 구면삼각법과 비슷하게 [[쌍곡선함수]]를 사용한 [[사인 법칙]]과 [[코사인 법칙]]이 존재한다(...). 다만 지구라는 현실적인 쓰임새가 있어 고대 그리스 때부터 연구되어 온 구면삼각법과는 달리 딱히 큰 의미는 없는 것 같다. * 삼각형의 넓이에 대해서는 다음 공식이 있다. (원판의 반지름이 달라지면 여기에 반지름의 제곱을 곱한다.) [math( S = \pi - (\angle A + \angle B + \angle C) )] 일반적인 다각형에 대해서도 (외각[* (외각)[math(=\pi-)](내각)]의 총합 - [math(2\pi)])가 넓이가 된다. 증명은 구면과는 다르게 초등적인 방법이 없고, 보통은 [[미분기하학]]의 가우스-보넷 정리에 기대는 것이 편하다. * 즉 특별히 삼각형의 내각의 합은 180도보다 작다. 세 내각의 조합은 0보다 크며 합이 180보다 작은 조건 하에선 얼마든지 바뀔 수 있지만, 세 내각이 정해지면 변의 길이도 자동적으로 정해진다. 즉 AAA 합동조건을 생각할 수 있다(...). 이건 구면도 마찬가지. * [[미분기하학]]을 배웠다면 모든 점 위에서 곡률이 -1이라는 사실을 증명할 수 있다. 수학자들에게 추앙받는 예술가 [[마우리츠 코르넬리스 에스허르|에셔]]의 다양한 작품들(특히 Circle Limit 계열)이 푸앵카레 원반을 사용한 것으로, 삼각형으로 푸앵카레 원반을 [[테셀레이션]]한 모양을 띄고 있다. 겉으로 보면 전혀 그렇게 안 보이지만, 원반 안의 삼각형들은 모든 각의 크기가 같고 변의 길이도 같은 합동이다. 물론 각의 크기가 같다고 정해질 필요는 없다. 각이 얼마든지 작아질 수 있으므로 한 점 주변에 똑같은 삼각형을 몇 개든지 붙일 수 있는 것이다. ~~이걸 계속 쳐다보면 쌍곡평면이 어떻게 생겼는지 나름 느낌이 올지도 모른다~~ [각주][include(틀:문서 가져옴, title=비유클리드 기하학, version=96, paragraph=2.1)] [[분류:미분 기하학]][[분류:비유클리드 기하학]]