문서:특수각

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1. 개요2. 03. (30˚)4. (45˚)5. (60˚)6. (90˚, 직각)7. (120˚)8. (135˚)9. (150˚)10. (180˚, 평각)11. (270˚)12. (360˚)13. 작도 가능한 각도14. 허수 단위 [math({i})]15. 관련 문서

1. 개요

Special angles · 特殊角

각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 미적분을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다.

크게 주치([0,2π]) 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.

파일:external/upload.wikimedia.org/720px-Unit_circle_angles.svg.png

sin⁡θ=±n2,(n=0,1,2,3,4)\displaystyle \sin{\theta} = \pm {\sqrt{n} \over 2} , (n = 0, 1, 2, 3, 4) 이 성립하는 각, 나머지는 유도 가능.

2. 0

말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 삼각비는 우극한이 존재하나 정의는 되지 않으며, 삼각함수값은 존재한다.
  • sin⁡0=0\displaystyle \sin 0 = 0
  • cos⁡0=1\displaystyle \cos 0 = 1
  • tan⁡0=0\displaystyle \tan 0 = 0
  • csc⁡0\displaystyle \csc 0은 정의되지 않는다.
  • sec⁡0=1\displaystyle \sec 0 = 1
  • cot⁡0\displaystyle \cot 0은 정의되지 않는다.

3. π6\displaystyle {\pi \over 6} (30˚)

정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.
  • sin⁡π6=12\displaystyle \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2}
  • cos⁡π6=32\displaystyle \cos {\pi \over 6} = {\sqrt{3} \over 2}
  • tan⁡π6=13\displaystyle \tan {\pi \over 6} = {1 \over \sqrt{3}}
  • csc⁡π6=2\displaystyle \csc {\pi \over 6} = 2
  • sec⁡π6=23\displaystyle \sec {\pi \over 6} = {2 \over \sqrt{3}}
  • cot⁡π6=3\displaystyle \cot {\pi \over 6} = \sqrt{3}

4. π4\displaystyle {\pi \over 4} (45˚)

정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[1][2]
  • sin⁡π4=12\displaystyle \sin {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}
  • cos⁡π4=12\displaystyle \cos {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}
  • tan⁡π4=1\displaystyle \tan {\pi \over 4} = 1
  • csc⁡π4=2\displaystyle \csc {\pi \over 4} = \sqrt{2}
  • sec⁡π4=2\displaystyle \sec {\pi \over 4} = \sqrt{2}
  • cot⁡π4=1\displaystyle \cot {\pi \over 4} = 1

5. π3\displaystyle {\pi \over 3} (60˚)

정삼각형의 한 내각의 크기다.
  • sin⁡π3=32\displaystyle \sin {\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}
  • cos⁡π3=12\displaystyle \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2}
  • tan⁡π3=3\displaystyle \tan {\pi \over 3} = \sqrt{3}
  • csc⁡π3=23\displaystyle \csc {\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}
  • sec⁡π3=2\displaystyle \sec {\pi \over 3} = 2
  • cot⁡π3=13\displaystyle \cot {\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}}

6. π2\displaystyle {\pi \over 2} (90˚, 직각)

Right angle · 直角

가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.
삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관 없는 곳에서 더 많이 쓰여서 그렇지...
  • sin⁡π2=1\displaystyle \sin {\pi \over 2} = 1
  • cos⁡π2=0\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0
  • tan⁡π2\displaystyle \tan {\pi \over 2}는 정의되지 않는다.
  • csc⁡π2=1\displaystyle \csc {\pi \over 2} = 1
  • sec⁡π2\displaystyle \sec {\pi \over 2}는 정의되지 않는다.
  • cot⁡π2=0\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0

7. 2π3\displaystyle {2\pi \over 3} (120˚)

정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다.
라그랑주점을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다.
  • sin⁡2π3=32\displaystyle \sin {2\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2}
  • cos⁡2π3=−12\displaystyle \cos {2\pi \over 3} = -{1 \over 2}
  • tan⁡2π3=−3\displaystyle \tan {2\pi \over 3} = -\sqrt{3}
  • csc⁡2π3=23\displaystyle \csc {2\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}}
  • sec⁡2π3=−2\displaystyle \sec {2\pi \over 3} = -2
  • cot⁡2π3=−13\displaystyle \cot {2\pi \over 3} = -{1 \over \sqrt{3}}

8. 3π4\displaystyle {3\pi \over 4} (135˚)

정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다.
정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다.
  • sin⁡3π4=12\displaystyle \sin {3\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}}
  • cos⁡3π4=−12\displaystyle \cos {3\pi \over 4} = -{1 \over \sqrt{2}}
  • tan⁡3π4=−1\displaystyle \tan {3\pi \over 4} = -1
  • csc⁡3π4=2\displaystyle \csc {3\pi \over 4} = \sqrt{2}
  • sec⁡3π4=−2\displaystyle \sec {3\pi \over 4} = -\sqrt{2}
  • cot⁡3π4=−1\displaystyle \cot {3\pi \over 4} = -1

9. 5π6\displaystyle {5\pi \over 6} (150˚)

정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다.
  • sin⁡5π6=12\displaystyle \sin {5\pi \over 6} = {1 \over 2}
  • cos⁡5π6=−32\displaystyle \cos {5\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2}
  • tan⁡5π6=−13\displaystyle \tan {5\pi \over 6} = -{1 \over \sqrt{3}}
  • csc⁡5π6=2\displaystyle \csc {5\pi \over 6} = 2
  • sec⁡5π6=−23\displaystyle \sec {5\pi \over 6} = -{2 \over \sqrt{3}}
  • cot⁡5π6=−3\displaystyle \cot {5\pi \over 6} = -\sqrt{3}

10. π\displaystyle {\pi} (180˚, 평각)

Straight angle · 平角

평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.
주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 오일러의 등식에 이 각이 들어간다.
  • sin⁡π=0\displaystyle \sin {\pi} = 0
  • cos⁡π=−1\displaystyle \cos {\pi} = -1
  • tan⁡π=0\displaystyle \tan {\pi} = 0
  • csc⁡π\displaystyle \csc {\pi}는 정의되지 않는다.
  • sec⁡π=−1\displaystyle \sec {\pi} = -1
  • cot⁡π\displaystyle \cot {\pi}는 정의되지 않는다.

11. 3π2\displaystyle {3 \pi \over 2} (270˚)

직사각형의 바깥쪽 각이다.
  • sin⁡3π2=−1\displaystyle \sin {3\pi \over 2} = -1
  • cos⁡3π2=0\displaystyle \cos {3\pi \over 2} = 0
  • tan⁡3π2\displaystyle \tan {3\pi \over 2}는 정의되지 않는다.
  • csc⁡3π2=−1\displaystyle \csc {3\pi \over 2} = -1
  • sec⁡3π2\displaystyle \sec {3\pi \over 2}는 정의되지 않는다.
  • cot⁡3π2=0\displaystyle \cot {3\pi \over 2} = 0

12. 2π\displaystyle 2 \pi (360˚)

한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 2π2 \pi로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.
  • sin⁡2π=0\displaystyle \sin 2 \pi = 0
  • cos⁡2π=1\displaystyle \cos 2 \pi = 1
  • tan⁡2π=0\displaystyle \tan 2 \pi = 0
  • csc⁡2π\displaystyle \csc 2 \pi은 정의되지 않는다.
  • sec⁡2π=1\displaystyle \sec 2 \pi = 1
  • cot⁡2π\displaystyle \cot 2 \pi은 정의되지 않는다.

13. 작도 가능한 각도

정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30˚, 60˚, 45˚ 가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.
  • 15˚ : 45˚와 30˚가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용하면 15˚도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15˚, 75˚도 특수각 범주에 넣기도 한다.
    • sin⁡π12=cos⁡5π12=6−24\displaystyle \sin {\pi \over 12} = \cos {5\pi \over 12} = {\sqrt{6} - \sqrt{2}\over 4}
    • cos⁡π12=sin⁡5π12=6+24\displaystyle \cos {\pi \over 12} = \sin {5\pi \over 12}= {\sqrt{6} + \sqrt{2}\over 4}
  • 72˚ : 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360˚/5 = 72˚는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능.
    • sin⁡π10=cos⁡2π5=5−14\displaystyle \sin {\pi \over 10} = \cos {2\pi \over 5} = {\sqrt{5} - \sqrt{1}\over 4}
    • sin⁡π5=cos⁡3π10=10−254\displaystyle \sin {\pi \over 5} = \cos {3\pi \over 10}= {\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\over 4}
    • sin⁡3π10=cos⁡π5=5+14\displaystyle \sin {3\pi \over 10} = \cos {\pi \over 5} = {\sqrt{5} + \sqrt{1}\over 4}
    • sin⁡2π5=cos⁡π10=10+254\displaystyle \sin {2\pi \over 5} = \cos {\pi \over 10}= {\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\over 4}
  • 3˚ : 72˚ 와 60˚ 가 작도 가능하므로, 12˚ 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6˚를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3˚ 역시 작도 가능하다. 간단히는 72˚와 75˚를 작도해도 된다. 다시 말해 3˚의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.
    • 1.5˚, 0.75˚ , 0.375˚ ... : 3˚ 를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.
  • 2π17=360∘17\displaystyle \frac {2 \pi}{17}= \frac{360^\circ}{17} (약 21.1764705882˚) : 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2n배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[3]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[4]은 작도 불가능하다.

14. 허수 단위 [math({i})]

허수 각이라니 이게 무슨 개 풀 뜯어 먹는 소리냐고 묻는 이들이 있지만, 이 바닥이 그렇듯 현실의 개념을 뛰어넘는 짓거리를 저지르곤 한다(...).심지어 코사인의 경우 실수(...)가 튀어나온다. 허수 각을 얻은 삼각형은 쌍곡선이라는 다른 도형으로 변하게 되며, 그래서 삼각함수가 쌍곡함수로 탈바꿈하게 된다. 아래 항등식에서 ee는 자연로그의 밑이다.
  • sin⁡i=isinh⁡1=e−e−12i=e2−12ei\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i
  • cos⁡i=cosh⁡1=e+e−12=e2+12e\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e }
  • tan⁡i=isinh⁡1cosh⁡1=e2−1e2+1i\displaystyle \tan{ i } = {i \sinh{ 1 } \over \cosh{ 1 }} = \frac{ e^2 - 1 }{ e^2 + 1 }i
  • csc⁡i=1isinh⁡1=−2e−e−1i=−2ee2−1i\displaystyle \csc{ i } = {1 \over i\sinh{ 1 }} = -\frac{ 2 }{ e - e^{ -1 } } i = -\frac{ 2e }{ e^2 - 1 } i
  • sec⁡i=1cosh⁡1=2e+e−1=2ee2+1\displaystyle \sec{ i } = {1 \over \cosh{ 1 }} = \frac{ 2 }{ e + e^{ -1 } } = \frac{ 2e }{ e^2 + 1 }
  • cot⁡i=cosh⁡1isinh⁡1=−e2+1e2−1i\displaystyle \cot{ i } = {\cosh{ 1 } \over i \sinh{ 1 }} = -\frac{ e^2 + 1 }{ e^2 - 1 }i

15. 관련 문서

[1] 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 포물선 운동을 하게 했을 때 초기속력을 v0v_0, 발사각을 θ\theta, 중력가속도를 gg, 입자의 최대 수평도달거리를 RR이라 하면 R=v02 sin⁡2θgR=\dfrac{{v_0}^{2} \, {\sin2\theta}}{g}이다. 0∘<θ<90∘0^{\circ}<\theta<90^{\circ}일 때 0<sin⁡2θ≦10<\sin2\theta≦1이고 sin⁡2θ=1\sin2\theta=1이 되도록 하는 2θ=90∘2\theta=90^{\circ}이므로 θ=45∘\theta=45^{\circ}이다.[2] 공기 저항이 있는 현실에서는 π/4보다 낮게 던져야 더 멀리 날아간다.[3] 정15(=3×5)각형, 정408(=23×3×17)각형, 정8224(=25×257)각형 등등[4] 정27(=33)각형, 정225(=3×53)각형, 정1156(=22×172)각형 등등