문서:특수각

분류

수학

1. 개요2. [[0]]3. [math(\displaystyle {\pi \over 6})] (30˚)4. [math(\displaystyle {\pi \over 4})] (45˚)5. [math(\displaystyle {\pi \over 3})] (60˚)6. [anchor(직각)][math(\displaystyle {\pi \over 2})] (90˚, 직각)7. [math(\displaystyle {2\pi \over 3})] (120˚)8. [math(\displaystyle {3\pi \over 4})] (135˚)9. [math(\displaystyle {5\pi \over 6})] (150˚)10. [math(\displaystyle {\pi})] (180˚, 평각)11. [math(\displaystyle {3 \pi \over 2})] (270˚)12. [math(\displaystyle 2 \pi)] (360˚)13. [[작도]] 가능한 각도14. 허수 단위 [[허수|[math({i})]]]15. 관련 문서

1. 개요

Special angles · 特殊角

각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 미적분을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다.

크게 주치([0,2π]) 내의 실수 각과 허수 각을 다루며, 특수각의 삼각함수 값도 서술한다.

파일:external/upload.wikimedia.org/720px-Unit_circle_angles.svg.png

[math(displaystyle sin{theta} = pm {sqrt{n} over 2} , (n = 0, 1, 2, 3, 4) )]이 성립하는 각, 나머지는 유도 가능.

2. 0

말 그대로 각도가 0이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 삼각비는 우극한이 존재하나 정의는 되지 않으며, 삼각함수값은 존재한다.

[math(displaystyle sin 0 = 0)]
[math(displaystyle cos 0 = 1)]
[math(displaystyle tan 0 = 0)]
[math(displaystyle csc 0)]은 정의되지 않는다.
[math(displaystyle sec 0 = 1)]
[math(displaystyle cot 0)]은 정의되지 않는다.

3. [math(displaystyle {pi over 6})] (30˚)

정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다.

[math(displaystyle sin {pi over 6} = {1 over 2})]
[math(displaystyle cos {pi over 6} = {sqrt{3} over 2})]
[math(displaystyle tan {pi over 6} = {1 over sqrt{3}})]
[math(displaystyle csc {pi over 6} = 2)]
[math(displaystyle sec {pi over 6} = {2 over sqrt{3}})]
[math(displaystyle cot {pi over 6} = sqrt{3})]

4. [math(displaystyle {pi over 4})] (45˚)

정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[1], 발사각을 [math(theta)], 중력가속도를 [math(g)], 입자의 최대 수평도달거리를 [math(R)]이라 하면 [math(R=dfrac{{v_0}^{2} , {sin2theta}}{g})]이다. [math(0^{circ}<theta<90^{circ})]일 때 [math(0<sin2theta≦1)]이고 [math(sin2theta=1)]이 되도록 하는 [math(2theta=90^{circ})]이므로 [math(theta=45^{circ})]이다.][2]

[math(displaystyle sin {pi over 4} = {1 over sqrt{2}})]
[math(displaystyle cos {pi over 4} = {1 over sqrt{2}})]
[math(displaystyle tan {pi over 4} = 1)]
[math(displaystyle csc {pi over 4} = sqrt{2})]
[math(displaystyle sec {pi over 4} = sqrt{2})]
[math(displaystyle cot {pi over 4} = 1)]

5. [math(displaystyle {pi over 3})] (60˚)

정삼각형의 한 내각의 크기다.

[math(displaystyle sin {pi over 3} = {sqrt{3} over 2})]
[math(displaystyle cos {pi over 3} = {1 over 2})]
[math(displaystyle tan {pi over 3} = sqrt{3})]
[math(displaystyle csc {pi over 3} = {2 over sqrt{3}})]
[math(displaystyle sec {pi over 3} = 2)]
[math(displaystyle cot {pi over 3} = {1 over sqrt{3}})]

6. [math(displaystyle {pi over 2})] (90˚, 직각)

Right angle · 直角

가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각으로, 다름아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, 수심도 이것으로 정의된다.
삼각함수의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. 삼각형과는 상관 없는 곳에서 더 많이 쓰여서 그렇지...

[math(displaystyle sin {pi over 2} = 1)]
[math(displaystyle cos {pi over 2} = 0)]
[math(displaystyle tan {pi over 2})]는 정의되지 않는다.
[math(displaystyle csc {pi over 2} = 1)]
[math(displaystyle sec {pi over 2})]는 정의되지 않는다.
[math(displaystyle cot {pi over 2} = 0)]

7. [math(displaystyle {2pi over 3})] (120˚)

정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다.
라그랑주점을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다.

[math(displaystyle sin {2pi over 3} = {sqrt{3} over 2})]
[math(displaystyle cos {2pi over 3} = -{1 over 2})]
[math(displaystyle tan {2pi over 3} = -sqrt{3})]
[math(displaystyle csc {2pi over 3} = {2 over sqrt{3}})]
[math(displaystyle sec {2pi over 3} = -2)]
[math(displaystyle cot {2pi over 3} = -{1 over sqrt{3}})]

8. [math(displaystyle {3pi over 4})] (135˚)

정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다.
정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다.

[math(displaystyle sin {3pi over 4} = {1 over sqrt{2}})]
[math(displaystyle cos {3pi over 4} = -{1 over sqrt{2}})]
[math(displaystyle tan {3pi over 4} = -1)]
[math(displaystyle csc {3pi over 4} = sqrt{2})]
[math(displaystyle sec {3pi over 4} = -sqrt{2})]
[math(displaystyle cot {3pi over 4} = -1)]

9. [math(displaystyle {5pi over 6})] (150˚)

정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다.

[math(displaystyle sin {5pi over 6} = {1 over 2})]
[math(displaystyle cos {5pi over 6} = -{sqrt{3} over 2})]
[math(displaystyle tan {5pi over 6} = -{1 over sqrt{3}})]
[math(displaystyle csc {5pi over 6} = 2)]
[math(displaystyle sec {5pi over 6} = -{2 over sqrt{3}})]
[math(displaystyle cot {5pi over 6} = -sqrt{3})]

10. [math(displaystyle {pi})] (180˚, 평각)

Straight angle · 平角

평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다.
주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 오일러의 등식에 이 각이 들어간다.

[math(displaystyle sin {pi} = 0)]
[math(displaystyle cos {pi} = -1)]
[math(displaystyle tan {pi} = 0)]
[math(displaystyle csc {pi})]는 정의되지 않는다.
[math(displaystyle sec {pi} = -1)]
[math(displaystyle cot {pi})]는 정의되지 않는다.

11. [math(displaystyle {3 pi over 2})] (270˚)

직사각형의 바깥쪽 각이다.

[math(displaystyle sin {3pi over 2} = -1)]
[math(displaystyle cos {3pi over 2} = 0)]
[math(displaystyle tan {3pi over 2})]는 정의되지 않는다.
[math(displaystyle csc {3pi over 2} = -1)]
[math(displaystyle sec {3pi over 2})]는 정의되지 않는다.
[math(displaystyle cot {3pi over 2} = 0)]

12. [math(displaystyle 2 pi)] (360˚)

한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 [math(2 pi)]로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다.

[math(displaystyle sin 2 pi = 0)]
[math(displaystyle cos 2 pi = 1)]
[math(displaystyle tan 2 pi = 0)]
[math(displaystyle csc 2 pi)]은 정의되지 않는다.
[math(displaystyle sec 2 pi = 1)]
[math(displaystyle cot 2 pi)]은 정의되지 않는다.

13. 작도 가능한 각도

정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30˚, 60˚, 45˚ 가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다.

15˚ : 45˚와 30˚가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용하면 15˚도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15˚, 75˚도 특수각 범주에 넣기도 한다.
- [math(displaystyle sin {pi over 12} = cos {5pi over 12} = {sqrt{6} - sqrt{2}over 4})]
- [math(displaystyle cos {pi over 12} = sin {5pi over 12}= {sqrt{6} + sqrt{2}over 4})]
72˚ : 정오각형은 작도가 가능하다. 그러므로 360˚/5 = 72˚는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능.
- [math(displaystyle sin {pi over 10} = cos {2pi over 5} = {sqrt{5} - sqrt{1}over 4})]
- [math(displaystyle sin {pi over 5} = cos {3pi over 10}= {sqrt{10 - 2sqrt{5}}over 4})]
- [math(displaystyle sin {3pi over 10} = cos {pi over 5} = {sqrt{5} + sqrt{1}over 4})]
- [math(displaystyle sin {2pi over 5} = cos {pi over 10}= {sqrt{10 + 2sqrt{5}}over 4})]
3˚ : 72˚ 와 60˚ 가 작도 가능하므로, 12˚ 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6˚를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3˚ 역시 작도 가능하다. 간단히는 72˚와 75˚를 작도해도 된다. 다시 말해 3˚의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다.
- 1.5˚, 0.75˚ , 0.375˚ ... : 3˚ 를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다.
[math(displaystyle frac {2 pi}{17}= frac{360^circ}{17})] (약 21.1764705882˚) : 정17각형이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, 페르마 소수에 해당하는 정다각형과 그의 2ⁿ배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[5]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[6]은 작도 불가능하다.

14. 허수 단위 [math({i})]

허수 각이라니 이게 무슨 개 풀 뜯어 먹는 소리냐고 묻는 이들이 있지만, 이 바닥이 그렇듯 현실의 개념을 뛰어넘는 짓거리를 저지르곤 한다(...).심지어 코사인의 경우 실수(...)가 튀어나온다. 허수 각을 얻은 삼각형은 쌍곡선이라는 다른 도형으로 변하게 되며, 그래서 삼각함수가 쌍곡함수로 탈바꿈하게 된다. 아래 항등식에서 [math(e)]는 자연로그의 밑이다.

[math(displaystyle sin{ i } = isinh{ 1 } = frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i)]
[math(displaystyle cos{ i } = cosh{ 1 } = frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = frac{ e^2 + 1 }{ 2e })]
[math(displaystyle tan{ i } = {i sinh{ 1 } over cosh{ 1 }} = frac{ e^2 - 1 }{ e^2 + 1 }i)]
[math(displaystyle csc{ i } = {1 over isinh{ 1 }} = -frac{ 2 }{ e - e^{ -1 } } i = -frac{ 2e }{ e^2 - 1 } i)]
[math(displaystyle sec{ i } = {1 over cosh{ 1 }} = frac{ 2 }{ e + e^{ -1 } } = frac{ 2e }{ e^2 + 1 })]
[math(displaystyle cot{ i } = {cosh{ 1 } over i sinh{ 1 }} = -frac{ e^2 + 1 }{ e^2 - 1 }i)]

15. 관련 문서

삼각함수

[1] 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 포물선 운동을 하게 했을 때 초기속력을 [math(v_0)[2] 공기 저항이 있는 현실에서는 π/4보다 낮게 던져야 더 멀리 날아간다.[3] 정15(=3×5)각형, 정408(=2³×3×17)각형, 정8224(=2⁵×257)각형 등등[4] 정27(=3³)각형, 정225(=3×5³)각형, 정1156(=2²×17²)각형 등등[5] 정15(=3×5)각형, 정408(=2³×3×17)각형, 정8224(=2⁵×257)각형 등등[6] 정27(=3³)각형, 정225(=3×5³)각형, 정1156(=2²×17²)각형 등등