코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다.

덧셈군 [math(left(G, +right))]에 대하여 위를 만족하는 함수 [math(f:Gto G)]는 [math(G)]의 자기 준동형 사상이 된다. 유리수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수인 [math(fleft(xright)=ax)]의 꼴뿐이지만(a는 상수), 선택공리에 따르면 실수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수만 있지 않다. 더 나아가 복소수가 되면 선택공리조차 필요 없다. 켤레를 생각해보자.

함수 [math(f:mathbb{Q}to mathbb{Q})]가 임의의 유리수 [math(x, y)]에 대하여 [math(fleft(x+yright)=fleft(xright)+fleft(yright))]를 만족한다고 하자.

[math(x=y=0)]을 대입하면 [math(fleft(0right)=fleft(0right)+fleft(0right))]이므로 [math(fleft(0right)=0)]이다. 그리고 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(fleft(n+1right)=fleft(nright)+fleft(1right))]이므로 수학적 귀납법에 의해 [math(fleft(nright)=nfleft(1right))]이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 [math(m)]에 대하여 [math(displaystyle fleft(frac{1}{m}right)=frac{1}{m}fleft(1right))]임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 [math(displaystyle fleft(frac{n}{m}right)=frac{n}{m}fleft(1right))]이므로, 임의의 양의 유리수 [math(q)]에 대해 [math( fleft(qright)=qfleft(1right))]이다.

양의 유리수 [math(q)]에 대하여 [math(fleft(q+left(-qright)right)=fleft(qright)+fleft(-qright))]이므로 [math(fleft(-qright)=-fleft(qright))]이다. 따라서 모든 유리수 [math(q)]에 대하여 [math( fleft(qright)=qfleft(1right))]이 성립한다.

[math(fleft(1right)=a)]로 놓으면 [math(fleft(xright)=ax)]를 얻는다.

함수 [math(f:mathbb{R}to mathbb{R})]가 임의의 실수 [math(x, y)]에 대하여 [math(fleft(x+yright)=fleft(xright)+fleft(yright))]를 만족한다고 하자.

그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 [math(q)]와 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math( fleft(qxright)=qfleft(xright))]임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 [math(x)]에 대해 [math(fleft(xright)=fleft(1right)x)]임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다.

이 네 가지 조건은 어느 하나만 추가하더라도 [math(f)]가 상수배 함수임이 유도되지만, 원래의 코시 함수 방정식만 만족하는 함수에는 상수배 함수가 아닌 것도 존재한다. 이를 바꾸어 말하면, 상수배 함수가 아닌 [math(f)]는 어떤 점에서도 미분가능하거나 연속이지 않으며, 어떤 열린 구간에서도 단조이거나 유계이지 않다는 굉장히 독특한 성질을 가진다.

유리수체 위의 실수 집합은 벡터 공간을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터 공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 [math(left{1right})]는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 [math(mathcal{B})]가 존재한다. [math(mathcal{B})]가 이 벡터 공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math(mathcal{B})]의 유한 부분집합 [math(left{v_1, v_2, cdots, v_nright})]이 유일하게 존재하여 [math(x=a_1v_1+a_2v_2+cdots+a_nv_n)]을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 [math(left(a_1, a_2, cdots, a_nright))]이 유일하게 존재한다.

이때 아무렇게나 함수 [math(g:mathcal{B} to mathbb{R})]를 정의했을 때 [math(fleft(v_iright)=gleft(v_iright))]이 되도록 함수 [math(f)]를 정의하면 [math(f)]가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 [math(g)]를 다음과 같이 정의할 수 있다. ([math(v_i in mathcal B)])

이렇게 정의하면 유리수 [math(q)]와 [math(mathcal B -left{1right})]의 원소들을 유리수 계수 일차결합해서 만든 무리수 [math(alpha)]가 있을 때, [math(q+alpha)]의 꼴의 실수에서의 함숫값은 모두 [math(fleft(qright))]와 같아진다. 따라서 [math(f)]는 상수배 함수가 아니다.

이러한 함수의 그래프는 좌표평면을 조밀하게 메우게 된다. 예를 들어 위에서 정의한 함수 [math(f)]를 생각하면, [math(left{1, sqrt{2}right} subset mathcal B)] 라 할 때 [math(left(1, 1right), left(sqrt{2}, 0right))]은 모두 [math(f)]의 그래프 위에 있다. 그런데 [math(f)]는 코시 함수 방정식을 만족하기 때문에 [math(f)]의 그래프 위의 점 [math(A, B)]와 유리수 [math(p, q)]에 대하여 [math(pA+qB)]도 항상 [math(f)]의 그래프 위에 있다. 즉, [math(left(p+qsqrt{2}, pright))]와 같은 점들은 모두 [math(f)]의 그래프 위에 존재한다.