Cauchy's functional equation [목차] == 개요 == 코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다. [math(f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right))] [[군(대수학)|덧셈군]] [math(\left(G, +\right))]에 대하여 위를 만족하는 함수 [math(f:G\to G)]는 [math(G)]의 자기 준동형 사상이 된다. 유리수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수인 [math(f\left(x\right)=ax)]의 꼴뿐이지만(a는 상수), [[선택공리]]에 따르면 [[실수(수학)|실수]]의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수만 있지 않다. 더 나아가 복소수가 되면 선택공리조차 필요 없다. 켤레를 생각해보자. == 유리수 범위 해법 == 함수 [math(f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q})]가 임의의 유리수 [math(x, y)]에 대하여 [math(f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right))]를 만족한다고 하자. [math(x=y=0)]을 대입하면 [math(f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right))]이므로 [math(f\left(0\right)=0)]이다. 그리고 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+f\left(1\right))]이므로 [[수학적 귀납법]]에 의해 [math(f\left(n\right)=nf\left(1\right))]이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 [math(m)]에 대하여 [math(\displaystyle f\left(\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{m}f\left(1\right))]임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 [math(\displaystyle f\left(\frac{n}{m}\right)=\frac{n}{m}f\left(1\right))]이므로, 임의의 양의 유리수 [math(q)]에 대해 [math( f\left(q\right)=qf\left(1\right))]이다. 양의 유리수 [math(q)]에 대하여 [math(f\left(q+\left(-q\right)\right)=f\left(q\right)+f\left(-q\right))]이므로 [math(f\left(-q\right)=-f\left(q\right))]이다. 따라서 모든 유리수 [math(q)]에 대하여 [math( f\left(q\right)=qf\left(1\right))]이 성립한다. [math(f\left(1\right)=a)]로 놓으면 [math(f\left(x\right)=ax)]를 얻는다. == 실수 범위 해법 == 함수 [math(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R})]가 임의의 실수 [math(x, y)]에 대하여 [math(f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right))]를 만족한다고 하자. 그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 [math(q)]와 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math( f\left(qx\right)=qf\left(x\right))]임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 [math(x)]에 대해 [math(f\left(x\right)=f\left(1\right)x)]임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다. * [math(f)]가 어떤 한 점에서 미분가능하다. * [math(f)]가 어떤 한 점에서 연속이다. * [math(f)]가 어떤 열린 구간에서 단조이다. * [math(f)]가 어떤 열린 구간에서 [[유계]]이다. 이 네 가지 조건은 어느 하나만 추가하더라도 [math(f)]가 상수배 함수임이 유도되지만, 원래의 코시 함수 방정식만 만족하는 함수에는 상수배 함수가 아닌 것도 존재한다. 이를 바꾸어 말하면, 상수배 함수가 아닌 [math(f)]는 '''어떤 점에서도 미분가능하거나 연속이지 않으며, 어떤 열린 구간에서도 단조이거나 유계이지 않다'''는 굉장히 독특한 성질을 가진다. == 상수배 함수가 아닌 해 == === 존재성 === 유리수체 위의 실수 집합은 [[벡터 공간]]을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터 공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 [math(\left\{1\right\})]는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 [math(\mathcal{B})]가 존재한다. [math(\mathcal{B})]가 이 벡터 공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 [math(x)]에 대하여 [math(\mathcal{B})]의 유한 부분집합 [math(\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\})]이 '''유일'''하게 존재하여 [math(x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n)]을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 [math(\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right))]이 '''유일'''하게 존재한다. 이때 아무렇게나 함수 [math(g:\mathcal{B} \to \mathbb{R})]를 정의했을 때 [math(f\left(v_i\right)=g\left(v_i\right))]이 되도록 함수 [math(f)]를 정의하면 [math(f)]가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 [math(g)]를 다음과 같이 정의할 수 있다. ([math(v_i \in \mathcal B)]) [math(g\left(v_i\right)=\begin{cases}1 \,\ \left(v_i=1\right)\\ \\0 \,\ \left(v_i \neq 1\right) \end{cases})] 이렇게 정의하면 유리수 [math(q)]와 [math(\mathcal B -\left\{1\right\})]의 원소들을 유리수 계수 일차결합해서 만든 무리수 [math(\alpha)]가 있을 때, [math(q+\alpha)]의 꼴의 실수에서의 함숫값은 모두 [math(f\left(q\right))]와 같아진다. 따라서 [math(f)]는 상수배 함수가 아니다. === 성질 === 이러한 함수의 그래프는 좌표평면을 조밀하게 메우게 된다. 예를 들어 위에서 정의한 함수 [math(f)]를 생각하면, [math(\left\{1, \sqrt{2}\right\} \subset \mathcal B)] 라 할 때 [math(\left(1, 1\right), \left(\sqrt{2}, 0\right))]은 모두 [math(f)]의 그래프 위에 있다. 그런데 [math(f)]는 코시 함수 방정식을 만족하기 때문에 [math(f)]의 그래프 위의 점 [math(A, B)]와 유리수 [math(p, q)]에 대하여 [math(pA+qB)]도 항상 [math(f)]의 그래프 위에 있다. 즉, [math(\left(p+q\sqrt{2}, p\right))]와 같은 점들은 모두 [math(f)]의 그래프 위에 존재한다. == 관련 문서 == * [[코시]] * [[함수]] * [[방정식]] * [[선택공리]] * [[벡터 공간]] [[분류:대수학]][[분류:해석학(수학)]][[분류:집합론]][[분류:방정식]]