정다면체중 하나인 정십이면체의 모습.
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1. 개요
2. 정십이면체에 대한 정보
단위/특성
| 개수
| 비고
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{5,3}
| ||
꼭지점(vertex, 0차원)
| 20
| |
모서리(edge), 1차원)
| 30
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면(face, 2차원)
| 12
| |
쌍대
| ||
포함 관계
또는 다른 이름 |
한 변의 길이가 [math(a)]인 정십이면체가 있을 때
외접구의 반지름 =[math(displaystylefrac{sqrt{3}+sqrt{15}}{4}a=frac{sqrt{3}}{2}varphi a)][2]]
내접구의 반지름 = [math(displaystylefrac{sqrt{250+110sqrt{5}}}{20}a=frac{varphi^2}{2 sqrt{3-varphi}}a)]
총 모서리 길이(total edge length) = [math(30a)]
겉넓이(surface area) = [math(3sqrt{25+10sqrt{5}}a^2)]
부피(volume) = [math(displaystylefrac{15+7sqrt{5}}{4}a^3)]
2.1. 다른 정다면체들과의 관계
3. 현실에서의 예시
4. 기타
플라톤은 다섯 개의 정다면체를 사원소설에 대입하려 하였는데, 이들 중 정십이면체는 우주를 상징한다고 하였다. 이에 대해 정십이면체가 천상세계를 이루는 제 5원소인 에테르를 상징한다고 해석하기도 하였다.
[1] 복수는 regular dodecahedra[2] 여기에서 φ는 황금비이다. [math(displaystyle(varphi=frac{1+sqrt{5}}{2}))[3] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[4] 정십이면체는 한 꼭지점에 세 개의 정오각형이 만나기 때문에 {5, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 다섯 개 만나는 도형인 정이십면체{3, 5}와 쌍대 도형이다.[5] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[6] 정십이면체는 한 꼭지점에 세 개의 정오각형이 만나기 때문에 {5, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 다섯 개 만나는 도형인 정이십면체{3, 5}와 쌍대 도형이다.[7] 정십이면체형 결정은 정육면체형 결정이 적당히 성장하면 만들어지므로, 자연의 황철석에서 가끔 발견할 수 있다.[8] 도라에몽에도 나온적이 있다.[9] 정십이면체형 결정은 정육면체형 결정이 적당히 성장하면 만들어지므로, 자연의 황철석에서 가끔 발견할 수 있다.[10] 도라에몽에도 나온적이 있다.