[[분류:기하학]][[분류:명수 12]] [Include(틀:정다면체)] [목차] || [[파일:external/upload.wikimedia.org/Dodecahedron.gif]] || || [[정다면체]]중 하나인 정십이면체의 모습. || == 개요 == 正十二面體, Regular dodecahedron[* 복수는 regular dodecahedra] 한 개의 꼭짓점에 세 개의 [[면]]이 만나고, 총 열두 개의 [[정오각형]] 면으로 이루어진 다면체. 정이십면체 120개를 한 모서리에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 [[4차원]] 도형인 [[정백이십포체]]를 만들 수 있다. 물론 4차원 방향으로 접어야하므로 현실에서는 불가능하다. == 정십이면체에 대한 정보 == || 단위/특성 || 개수 || 비고 || || [[슐레플리 부호]] || || {5,3} || || 꼭지점(vertex, 0차원) || 20 || || || 모서리(edge), 1차원) || 30 || || || 면(face, 2차원) || 12 || [[정오각형]] || || 쌍대 || || [[정이십면체|정이십면체 {3,5}]] || || 포함 관계[br]또는 '''다른 이름''' || || || 한 변의 길이가 [math(a)]인 정십이면체가 있을 때 외접구의 반지름 =[math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}a=\frac{\sqrt{3}}{2}\varphi a)][* 여기에서 φ는 [[황금비]]이다. [math(\displaystyle(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}))]] 내접구의 반지름 = [math(\displaystyle\frac{\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}a=\frac{\varphi^2}{2 \sqrt{3-\varphi}}a)] 총 모서리 길이(total edge length) = [math(30a)] 겉넓이(surface area) = [math(3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2)] 부피(volume) = [math(\displaystyle\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3)] === 다른 정다면체들과의 관계 === * 정십이면체는 정이십면체와 쌍대(Dual)[* 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.] 도형이다.[* 정십이면체는 한 꼭지점에 세 개의 정오각형이 만나기 때문에 {5, 3} 한 꼭지점에서 정삼각형이 다섯 개 만나는 도형인 정이십면체{3, 5}와 쌍대 도형이다.] * 정십이면체의 20개 꼭지점들 중 서로 이웃하지 않은 8개의 꼭지점을 골라 이으면 [[정육면체]]가 된다. == 현실에서의 예시 == * [[황철석]][* 정십이면체형 결정은 정육면체형 결정이 적당히 성장하면 만들어지므로, 자연의 황철석에서 가끔 발견할 수 있다.] * [[주사위#s-3.1.8|정십이면체 주사위]][* [[도라에몽]]에도 나온적이 있다.] * [[메가밍크스]] == 기타 == 플라톤은 다섯 개의 정다면체를 사원소설에 대입하려 하였는데, 이들 중 정십이면체는 우주를 상징한다고 하였다. 이에 대해 정십이면체가 천상세계를 이루는 제 5원소인 [[에테르#s-2|에테르]]를 상징한다고 해석하기도 하였다.