분류
1. 개요
2. 설명
2.1. 고립 특이점
[math(z = z_0)]가 함수 [math(w = f(z))]의 고립특이점이면 [math(0< mid z - z_0 mid< R)]인 모든 [math(z)]에 대하여 해석적이면 로랑의 정리에 의하여 [math(f(z) =displaystyle sum^{infty}_{n = -infty}a_n(z - z_0)^n)], [math(0< mid z - z_0 mid< R)]와 같이 나타낼 수 있고, 곡선 [math(C)]가 [math(z_0)]의 근방에 포함되면서 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌곡선이면 계수 [math(a_n)]은 [math(a_n =displaystyle frac{1}{2pi i}int_{C}frac{f(z)}{left(z - z_0right)^{n + 1}}dz)]이다.
특히 [math(a_n)]에서 [math(n = -1)]일 때 계수 [math(b_1 = a_{-1} =displaystyle frac{1}{2pi i}int_{C}f(z)dz)]를 고립특이점 [math(z = z_0)]에서 [math(f(z))]의 유수라 하고 이것을 보통 [math(b_1 = Res[f, z_0])]와 같이 표시한다. 만약 [math(z = z_0)]가 [math(f(z))]의 없앨 수 있는 특이점이면 [math(Res[f, z_0] = 0)]이다. 그런데 [math(z_0)]이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다.
특히 [math(a_n)]에서 [math(n = -1)]일 때 계수 [math(b_1 = a_{-1} =displaystyle frac{1}{2pi i}int_{C}f(z)dz)]를 고립특이점 [math(z = z_0)]에서 [math(f(z))]의 유수라 하고 이것을 보통 [math(b_1 = Res[f, z_0])]와 같이 표시한다. 만약 [math(z = z_0)]가 [math(f(z))]의 없앨 수 있는 특이점이면 [math(Res[f, z_0] = 0)]이다. 그런데 [math(z_0)]이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다.
2.2. 무한대
3. 유수 정리
함수 [math(f(z))]가 단일 닫힌곡선 [math(C)]의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 [math( z_1, z_2, z_3, centerdotcenterdotcenterdot, z_n)]을 제외하고 [math(C)]의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 [math( z_k, k = 1, 2, centerdotcenterdotcenterdot, n)]에서 유수가 [math(Res[f(z), z_k])]이면 다음이 성립한다.[math(displaystyle int_{C}f(z)dz = 2pi isum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k])]
증명
각 특이점 [math(z_1, z_2, z_3, centerdotcenterdotcenterdot, z_n)]을 중심으로 하고, [math(C)]의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각 [math(C_1, C_2, centerdotcenterdotcenterdot, C_n)]을 나타내고, 각 원의 방향을 [math(C)]와 같은 방향으로 하면 코시의 적분공식에 의하여 [math(displaystyle int_{C}f(z)dz = int_{C_1}f(z)dz + int_{C_2}f(z)dz + centerdotcenterdotcenterdot + int_{C_n}f(z)dz)]이다. 여기서 [math(z = z_k, k = 1, 2, centerdotcenterdotcenterdot, n)]에 대한 유수의 정의를 적용하면 [math(Res[f(z), z_k] = displaystyle frac{1}{2pi i}int_{C_k}f(z)dz)]이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다. [math(displaystyle int_{C}f(z)dz = 2pi isum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k])] |
무한대에서는 [math(displaystyle sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k] + Res(f(z), infty))]로 간략하게 표현할 수 있다.
[1] '레지듀(...)'다. 귀엽다