[include(틀:다른 뜻1, other1=후한의 초대 황제였던 광무제 유수, rd1=광무제, other2=후한 말의 인물, rd2=유수(삼국지))] [목차] == 개요 == 유수(Residue[* '레지듀(...)'다. ~~귀엽다~~])란 [[복소해석학]]에서 통용되는 [[수학]]적 용어이다. == 설명 == === 고립 특이점 === [math(z = z_0)]가 함수 [math(w = f(z))]의 고립특이점이면 [math(0< \mid z - z_0 \mid< R)]인 모든 [math(z)]에 대하여 해석적이면 로랑의 정리에 의하여 [math(f(z) =\displaystyle \sum^{\infty}_{n = -\infty}a_n(z - z_0)^n)], [math(0< \mid z - z_0 \mid< R)]와 같이 나타낼 수 있고, 곡선 [math(C)]가 [math(z_0)]의 근방에 포함되면서 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌곡선이면 계수 [math(a_n)]은 [math(a_n =\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{\left(z - z_0\right)^{n + 1}}dz)]이다. 특히 [math(a_n)]에서 [math(n = -1)]일 때 계수 [math(b_1 = a_{-1} =\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C}f(z)dz)]를 고립특이점 [math(z = z_0)]에서 [math(f(z))]의 '''유수'''라 하고 이것을 보통 '''[math(b_1 = Res[f, z_0])]'''와 같이 표시한다. 만약 [math(z = z_0)]가 [math(f(z))]의 없앨 수 있는 특이점이면 [math(Res[f, z_0] = 0)]이다. 그런데 [math(z_0)]이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다. === 무한대 === == 유수 정리 == >함수 [math(f(z))]가 단일 닫힌곡선 [math(C)]의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 [math( z_1, z_2, z_3, \centerdot\centerdot\centerdot, z_n)]을 제외하고 [math(C)]의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 [math( z_k, k = 1, 2, \centerdot\centerdot\centerdot, n)]에서 유수가 [math(Res[f(z), z_k])]이면 다음이 성립한다. > > [math(\displaystyle \int_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k])] 증명 || 각 특이점 [math(z_1, z_2, z_3, \centerdot\centerdot\centerdot, z_n)]을 중심으로 하고, [math(C)]의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각 [math(C_1, C_2, \centerdot\centerdot\centerdot, C_n)]을 나타내고, 각 원의 방향을 [math(C)]와 같은 방향으로 하면 [[코시]]의 [[적분]]공식에 의하여 [math(\displaystyle \int_{C}f(z)dz = \int_{C_1}f(z)dz + \int_{C_2}f(z)dz + \centerdot\centerdot\centerdot + \int_{C_n}f(z)dz)]이다. 여기서 [math(z = z_k, k = 1, 2, \centerdot\centerdot\centerdot, n)]에 대한 유수의 정의를 적용하면 [math(Res[f(z), z_k] = \displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C_k}f(z)dz)]이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다. [math(\displaystyle \int_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k])] || 무한대에서는 [math(\displaystyle \sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k] + Res(f(z), \infty))]로 간략하게 표현할 수 있다. [[분류:해석학(수학)]]