문서:연속 방정식

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1. 개요
1.1. 연속 방정식의 일반형
2. 유체역학에서의 연속 방정식
2.1. 질량에 대한 연속 방정식
2.1.1. 유도2.1.2. 비압축성 유체
2.2. 운동량에 대한 연속 방정식
3. 전자기학에서의 연속 방정식
3.1. 전하에 대한 연속 방정식3.2. 에너지에 대한 연속 방정식
4. 확산/열에 대한 연속 방정식5. 관련 문서

1. 개요

Continuity equation · 連續 方程式

어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식. 어느 구간에서 자신이 원하는 양이 얼마나 들어가고 빠지는지를 나타내기 위해서 쓰는데, 그래서 아무것도 변하지 않는다고 하는 보존법칙들을 기술하기 위해서도 이 법칙이 요긴하게 쓰인다.

1.1. 연속 방정식의 일반형

어떤 물리량 q\displaystyle q에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.


ddt∭Vρq(r, t)d3r=−∯∂VJq(r, t)⋅da+∭Vsq(r, t)d3r\displaystyle \frac{d}{d t} \iiint_{V} \rho_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r = - \oiint_{\partial V} \mathbf{J}_{q} (\mathbf{r},\, t ) \cdot d \mathbf{a} + \iiint_{V} s_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r


여기서 ρq,Jq,sq\displaystyle \rho_{q}, \mathbf{J}_{q}, s_{q}는 각각 단위 부피당 q\displaystyle q, 단위 시간당 단위 면적을 통한 q\displaystyle q의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 q\displaystyle q의 직접 공급을 뜻한다.

이로부터 위 식의 좌변은 단위 시간당 어떤 영역 V\displaystyle V 내의 q\displaystyle q의 (시간에 따른) 변화율, 우변의 첫째 항과 둘째 항은 각각 영역 V\displaystyle V의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 q\displaystyle q의 양, (외부 공급 장치 등을 이용한) q\displaystyle q의 직접적인 공급을 의미한다.

위 식에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다.


∂ρq∂t+∇⋅Jq=sq(r, t) \displaystyle \frac{\partial \rho_{q}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{q} = s_{q} ( \mathbf{r},\, t )

2. 유체역학에서의 연속 방정식

2.1. 질량에 대한 연속 방정식

유체가 흐를 때 질량이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.


∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0 \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

2.1.1. 유도

밀도가 ρ\displaystyle \rho인 유체가 어떤 폐곡면 S\displaystyle S를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.


∂∂t∭Vρ d3r=−∯Sρu⋅da \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V} \rho\, d^3 r = -\oiint_{S} \rho \mathbf{u} \cdot d \mathbf{a}


여기서 VV는 폐곡면 SS로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.

위 방정식의 우변에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 질량에 대한 연속 방정식을 얻는다.


∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0 \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

2.1.2. 비압축성 유체

비합축성이면 ρ\rho가 상수이니

∇⋅u=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0

또는

∯∂Vu⋅da=0 \displaystyle \oiint_{\partial V} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{a} = 0

가 된다. 후자를 파이프 같이 단순한 유체 흐름의 상황에 적용하면 아주 간단한 형태가 된다.

A1u1=A2u2 \displaystyle A_1\mathbf{u}_1 = A_2\mathbf{u}_2

2.2. 운동량에 대한 연속 방정식

오일러 방정식 항목 참조

3. 전자기학에서의 연속 방정식

3.1. 전하에 대한 연속 방정식

3.2. 에너지에 대한 연속 방정식

4. 확산/열에 대한 연속 방정식

열의 밀도를 uu, 에너지 선속을 q\mathbf{q}라 하고, 마찰력 등으로 인한 내부 열 생성은 없다고 가정하면,

∂u∂t+∇⋅q=0\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{q} = 0

열이 아니라 물질에 적용해도 수학적으로 똑같다. ϕ\phi를 물질의 밀도 (단위는 mol/m^3), J\mathbf{J}를 물질의 확산 선속 (단위는 mol/m^2/sec)이라 하면,

∂ϕ∂t+∇⋅J=0\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0

이 둘은 각각 푸리에의 법칙과 픽의 1 법칙과 연계하면 열 방정식과 확산 방정식으로 이어진다. 이 두 방정식 역시 수학적으로 동일.

5. 관련 문서