1. 개요
2. 주요 삼각함수의 도함수
2.1. sin
[math(dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x}sin x)]
[math(begin{aligned} &=lim_{Delta x to 0} frac{sinleft(x + Delta xright) - sin x}{Delta x}end{aligned}quad)](미분계수 정의 이용) [math(begin{aligned} &=lim_{Delta x to 0} frac{sin x cosDelta x + cos x sinDelta x - sin x}{Delta x}end{aligned}quad)] (삼각함수의 덧셈정리 이용) [math(begin{aligned}&=lim_{Delta x to 0} frac{sin x left(cosDelta x - 1right) + cos x sinDelta x}{Delta x} \ &=lim_{Delta x to 0} frac{sin x left(1 - 2sin^2dfrac{Delta x}2 - 1right) + cos x sinDelta x}{Delta x} \ &=lim_{Delta x to 0} frac{-2sin x sin^2dfrac{Delta x}2 + cos x sinDelta x}{Delta x} \ &=lim_{Delta x to 0} left(-sin x sindfrac{Delta x}2frac{sindfrac{Delta x}2}{dfrac{Delta x}2} + cos x frac{sinDelta x}{Delta x}right) end{aligned})] [math(begin{aligned}&=lim_{Delta x to 0}left(-sin xsindfrac{Delta x}2 frac{sindfrac{Delta x}2}{dfrac{Delta x}2}right) + lim_{Delta x to 0} cos xfrac{sinDelta x}{Delta x}end{aligned}quad)] (분배법칙) [math(begin{aligned}&=-sin xlim_{Delta x to 0}sinfrac{Delta x}2 lim_{Delta x to 0}frac{sindfrac{Delta x}2}{dfrac{Delta x}2} + cos xlim_{Delta x to 0}frac{sinDelta x}{Delta x}end{aligned})] [math(begin{aligned}&=cancel{-sin x cdot 0 cdot 1} + cos x cdot 1end{aligned}quad)](삼각함수의 극한) [math(begin{aligned}&=color{#FE2E64}cos x end{aligned})] |
2.2. cos
[math(dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x}cos x)]
[math(begin{aligned}&=lim_{Delta x to 0} frac{cos left(x + Delta xright) - cos x}{Delta x}end{aligned}quad)] (미분계수 정의 이용) [math(begin{aligned}&=lim_{Delta x to 0} frac{cos x cosDelta x - sin x sinDelta x - cos x}{Delta x}end{aligned}quad)] (삼각함수의 덧셈정리 이용) [math(begin{aligned}&=lim_{Delta x to 0} frac {cos x left(cos Delta x -1right) - sin x sinDelta x}{Delta x} \ &=lim_{Delta x to 0} frac {cos x left(1 - 2sin^2dfrac{Delta x}2 - 1right) - sin x sinDelta x}{Delta x} \ &=lim_{Delta x to 0} frac{-2cos x sin^2dfrac{Delta x}2 - sin x sinDelta x}{Delta x} \ &=lim_{Delta to 0} left(-cos x sindfrac{Delta x}2frac{sindfrac{Delta x}2}{dfrac{Delta x}2} - sin xfrac{sinDelta x}{Delta x}right) end{aligned})] [math(begin{aligned}&=lim_{Delta x to 0}left(-cos x sindfrac{Delta x}2frac{sindfrac{Delta x}2}{dfrac{Delta x}2}right) - lim_{Delta x to 0} sin xfrac{sinDelta x}{Delta x}end{aligned}quad)] (분배법칙) [math(begin{aligned}&=-cos xlim_{Delta x to 0}sinfrac{Delta x}2lim_{Delta to 0}frac{sindfrac{Delta x}2}{dfrac{Delta x}2} - sin xlim_{Delta to 0}frac{sinDelta x}{Delta x}end{aligned})] [math(begin{aligned}&=cancel{-cos x cdot 0 cdot 1} - sin x cdot 1end{aligned}quad)](삼각함수의 극한) [math(begin{aligned}&=color{#FE2E64}-sin x end{aligned})] |
2.3. tan
탄젠트 함수 미분을 유도하는 방법은 총 두 가지가 있다.
Sol. 1)
Sol. 1)
[math(dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x}tan x)]
[math(begin{aligned}&= dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x}dfrac{sin x}{cos x}end{aligned})] [math(begin{aligned}&=frac{cos x cdot cos x - sin x cdot left(-sin xright)}{cos^2x}end{aligned}quad)](몫미분) [math(begin{aligned}&=frac{cos^2x + sin^2x}{cos^2x} \ &=frac1{cos^2x} \ &={color{#FE2E64}sec^2x}end{aligned})] |
[math(dfrac {mathrm{d}}{mathrm{d}x}tan x)]
[math(begin{aligned} &=lim_{Delta x to 0} frac{tanleft(x + Delta xright) - tan x}{Delta x}end{aligned}quad)](미분계수 정의 이용) [math(begin{aligned} &=lim_{Delta x to 0} frac{tan x + tanDelta x - tan x(1-tan x tanDelta x)}{Delta x(1-tan x tanDelta x)}end{aligned}quad)] (삼각함수의 덧셈정리 이용) [math(begin{aligned} &=lim_{Delta x to 0} frac{cancel{tan x - tan x} +tanDelta x(1 + tan^2 x)}{Delta x}end{aligned}quad)] [math(begin{aligned} &=sec^2 x cdot lim_{Delta x to 0} frac{tanDelta x}{Delta x}end{aligned}quad)](삼각함수 등식 이용) [math(begin{aligned} &=sec^2 x cdot 1end{aligned}quad)](삼각함수의 극한 이용) [math(begin{aligned}&=color{#FE2E64}sec^2 x end{aligned})] |
탄젠트의 덧셈정리를 직접 이용하는 방법도 있다.
3. 역수꼴
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위의 sin, cos, tan함수에 역수를 취하고 몫의 미분법을 사용하면 유도할 수 있다.
4. 미분 육각형
삼각함수의 도함수를 주입시켜서 외우게 하려고 고안된 육각형이다. 증명 방법과는 전혀 관련이 없으니 유의하자. 이 육각형에서 마주보는 꼭지점이 서로 역수 관계, 즉 [math(csc x = dfrac1{sin x})], [math(sec x=dfrac1{cos x})], [math(cot x=dfrac1{tan x})]이다. 가운데에 그어진 선은 [math(+)], [math(-)] 경계선이다.
삼각함수 미분의 육각형
마주보는 꼭지점이 서로 역수관계인 것이 특징 |
이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 [math(boldsymbol+)], [math(boldsymbol-)] 부호를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. (이때 이중선은 제곱하라는 뜻이다.) 이 과정을 그림으로 예를 들어 보이면 다음과 같다.
[math(cos)] 미분
| [math(tan)] 미분
| [math(csc)] 미분
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[math(cos)]이 속한 부호: [math(-)]
| [math(tan)]가 속한 부호: [math(+)]
| [math(csc)]가 속한 부호: [math(-)]
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화살표: [math(sin)]
| 화살표: [math(sec)], [math(sec)]
| 화살표: [math(csc)], [math(cot)]
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