[include(틀:상위 문서, top1=삼각함수)] [include(틀:관련 문서, top1=삼각함수/역도함수)] [목차] == 개요 == [[삼각함수]]의 [[도함수|도함수(미분)]]를 설명하는 문서이다. == 주요 삼각함수의 도함수 == === sin === ||<tablebordercolor=#dbe4e8,#1a1c2a><bgcolor=#dbe4e8,#1a1c2a>[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x)] [math(\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(x + \Delta x\right) - \sin x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)]([[미분계수]] 정의 이용) [math(\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \cos\Delta x + \cos x \sin\Delta x - \sin x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)] ([[삼각함수의 덧셈정리]] 이용) [math(\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \left(\cos\Delta x - 1\right) + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \left(1 - 2\sin^2\dfrac{\Delta x}2 - 1\right) + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\sin x \sin^2\dfrac{\Delta x}2 + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\sin x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} + \cos x \frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right) \end{aligned})] [math(\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0}\left(-\sin x\sin\dfrac{\Delta x}2 \frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2}\right) + \lim_{\Delta x \to 0} \cos x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)] (분배법칙) [math(\begin{aligned}&=-\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}2 \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} + \cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned})] [math(\begin{aligned}&=\cancel{-\sin x \cdot 0 \cdot 1} + \cos x \cdot 1\end{aligned}\quad)]([[삼각함수의 극한]]) [math(\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}\cos x \end{aligned})] || === cos === ||<tablebordercolor=#dbe4e8,#1a1c2a><bgcolor=#dbe4e8,#1a1c2a>[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x)] [math(\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \left(x + \Delta x\right) - \cos x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)] ([[미분계수]] 정의 이용) [math(\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos\Delta x - \sin x \sin\Delta x - \cos x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)] ([[삼각함수의 덧셈정리]] 이용) [math(\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\cos x \left(\cos \Delta x -1\right) - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\cos x \left(1 - 2\sin^2\dfrac{\Delta x}2 - 1\right) - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\cos x \sin^2\dfrac{\Delta x}2 - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta \to 0} \left(-\cos x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} - \sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right) \end{aligned})] [math(\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0}\left(-\cos x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2}\right) - \lim_{\Delta x \to 0} \sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)] (분배법칙) [math(\begin{aligned}&=-\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}2\lim_{\Delta \to 0}\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} - \sin x\lim_{\Delta \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned})] [math(\begin{aligned}&=\cancel{-\cos x \cdot 0 \cdot 1} - \sin x \cdot 1\end{aligned}\quad)]([[삼각함수의 극한]]) [math(\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}-\sin x \end{aligned})] || === tan === 탄젠트 함수 미분을 유도하는 방법은 총 두 가지가 있다. Sol. 1) ||<tablebordercolor=#dbe4e8,#1a1c2a><bgcolor=#dbe4e8,#1a1c2a>[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x)] [math(\begin{aligned}&= \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\dfrac{\sin x}{\cos x}\end{aligned})] [math(\begin{aligned}&=\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left(-\sin x\right)}{\cos^2x}\end{aligned}\quad)]([[몫미분]]) [math(\begin{aligned}&=\frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x} \\ &=\frac1{\cos^2x} \\ &={\color{#FE2E64}\sec^2x}\end{aligned})] || 앞서 도출한 사인함수와 코사인함수의 도함수, [[몫미분]]을 활용한다. Sol. 2) ||<tablebordercolor=#dbe4e8,#1a1c2a><bgcolor=#dbe4e8,#1a1c2a>[math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x)] [math(\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan\left(x + \Delta x\right) - \tan x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)]([[미분계수]] 정의 이용) [math(\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan x + \tan\Delta x - \tan x(1-\tan x \tan\Delta x)}{\Delta x(1-\tan x \tan\Delta x)}\end{aligned}\quad)] ([[삼각함수의 덧셈정리]] 이용) [math(\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cancel{\tan x - \tan x} +\tan\Delta x(1 + \tan^2 x)}{\Delta x}\end{aligned}\quad)] [math(\begin{aligned} &=\sec^2 x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad)](삼각함수 등식 이용) [math(\begin{aligned} &=\sec^2 x \cdot 1\end{aligned}\quad)]([[삼각함수의 극한]] 이용) [math(\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}\sec^2 x \end{aligned})] || 탄젠트의 덧셈정리를 직접 이용하는 방법도 있다. == 역수꼴 == ||<tablecolor=#373a3b,#c4c7c8><tablebordercolor=#fff,#191919><tablebgcolor=#fff,#191919>'''''' * [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x = -\csc x \cot x)] * [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x = \sec x \tan x)] * [math(\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x = -\csc^2x)]|| 위의 sin, cos, tan함수에 역수를 취하고 몫의 미분법을 사용하면 유도할 수 있다. == 미분 육각형 == 삼각함수의 도함수를 ~~[[주입식 교육|주입시켜서]]~~ 외우게 하려고 고안된 육각형이다. [[벤 다이어그램|증명 방법과는 전혀 관련이 없으니 유의하자]]. 이 육각형에서 마주보는 꼭지점이 서로 역수 관계, 즉 [math(\csc x = \dfrac1{\sin x})], [math(\sec x=\dfrac1{\cos x})], [math(\cot x=\dfrac1{\tan x})]이다. 가운데에 그어진 선은 [math(+)], [math(-)] 경계선이다. ||<|2><tablealign=center><rowbgcolor=#ffffff,#191919> [[파일:attachment/삼각함수/삼각함수미분육각형.png|width=300]] || [[파일:attachment/삼각함수/그림560.png|width=200]] || || 삼각함수 미분의 육각형[br]{{{-1 마주보는 꼭지점이 서로 역수관계인 것이 특징}}} || 이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 '''[math(\boldsymbol+)], [math(\boldsymbol-)] 부호'''를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. (이때 이중선은 제곱하라는 뜻이다.) 이 과정을 그림으로 예를 들어 보이면 다음과 같다. ||<rowbgcolor=#ffffff,#191919><tablealign=center> [[파일:attachment/삼각함수/그림561.png|width=200]] || [[파일:attachment/삼각함수/그림562.png|width=200]] || [[파일:attachment/삼각함수/그림563.png|width=200]] || || [math(\cos)] 미분 || [math(\tan)] 미분 || [math(\csc)] 미분 || || [math(\cos)]이 속한 부호: [math(-)] || [math(\tan)]가 속한 부호: [math(+)] || [math(\csc)]가 속한 부호: [math(-)] || || 화살표: [math(\sin)] || 화살표: [math(\sec)], [math(\sec)] || 화살표: [math(\csc)], [math(\cot)] || [각주][include(틀:문서 가져옴, title=삼각함수, version=630)] [[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]]