1. 개요
Sine law
2009 개정 교육과정에서 빠졌다가, 2015 개정 교육과정에 따라 고등학교 2학년 때 배우게 되는, 평면기하학의 공식 중 하나.
삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.
2009 개정 교육과정에서 빠졌다가, 2015 개정 교육과정에 따라 고등학교 2학년 때 배우게 되는, 평면기하학의 공식 중 하나.
삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.
[math(triangle{mathrm{ABC}})]의 세 각의 크기 [math(A)], [math(B)], [math(C)], 대변의 길이 [math(a)], [math(b)], [math(c)], 그리고, 외접원의 반지름 길이 [math(R)]에 대해
이 성립한다. |
한편, [math((sin x)^{-1} = csc x)]가 성립하므로
#!wiki style="text-align: center"
[br][math( \displaystyle a \csc A = b \csc B = c \csc C =2R )]의 형태로도 쓸 수 있다.
1.1. 구면기하학에서
한편 삼각형이 구 위에 있으면 이 식의 형태가 바뀌게 된다.
즉 사인이 분자에까지 적용된다는 이야기이다.
#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \frac{\sin a}{\sin{A}}=\frac{\sin b}{\sin{B}}=\frac{\sin c}{\sin{C}}=2R )]즉 사인이 분자에까지 적용된다는 이야기이다.
1.2. 쌍곡기하학에서
쌍곡기하학에서는 더해서
분자가 쌍곡선 함수로 바뀐다.
#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \frac{\sinh a}{\sin{A}}=\frac{\sinh b}{\sin{B}}=\frac{\sinh c}{\sin{C}}=2R )]분자가 쌍곡선 함수로 바뀐다.
2. 증명
2.1. 원주각을 이용한 증명
[math(triangle mathrm{ABC})]의 외접원의 중심을 [math(mathrm{O})]라 하고, [math(overline{mathrm{BO}})]의 연장선이 원과 만나는 점을 [math(mathrm{A'})]라 하자. 그렇게 하면, [math(overline{mathrm{BA'}})]은 외접원의 지름이므로, [math(overline{mathrm{BA'}}=2R)]이 된다. 또한,
[math(displaystyle overline{mathrm{BC}}=aqquad qquad overline{mathrm{AC}}=b qquad qquad overline{mathrm{AB}}=c)]
임을 참고하라.
(ⅰ) [math(triangle mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때
파일:사인법칙_증명_예각.png
위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(displaystyle angle{A}=angle{A'} )]
이고,
[math(displaystyle angle{mathrm{BCA'}}=90^{circ} )]
이다. 따라서
[math(displaystyle sin{A}=sin{A'}=frac{a}{2R} )]
이고 이것을 정리하면,
[math(displaystyle frac{a}{sin{A}}=2R )]
이 얻어진다.
(ⅱ) [math(triangle mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때
파일:사인법칙_증명_둔각.png
위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(displaystyle angle{A}=180^{circ}-angle{A'} )]
이고,
[math(displaystyle angle{mathrm{A'BC}}=90^{circ} )]
이다. 따라서
[math(displaystyle sin{A}=sin{(180^{circ}-A')}=sin{A'}=frac{a}{2R} )]
이고[1]인 것을 이용했다.] 이것을 정리하면,
[math(displaystyle frac{a}{sin{A}}=2R )]
얻어진다.
(ⅲ) [math(triangle mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때
파일:사인법칙_증명_직각.png
위 그림에서 [math(angle{A}=90^{circ})]이다. 따라서
[math(displaystyle sin{A}=1 qquad qquad a=2R )]
이므로
[math(displaystyle frac{a}{sin{A}}=2R )]
이 성립한다.
[math(displaystyle overline{mathrm{BC}}=aqquad qquad overline{mathrm{AC}}=b qquad qquad overline{mathrm{AB}}=c)]
임을 참고하라.
(ⅰ) [math(triangle mathrm{ABC})]가 예각 삼각형일 때
파일:사인법칙_증명_예각.png
위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(displaystyle angle{A}=angle{A'} )]
이고,
[math(displaystyle angle{mathrm{BCA'}}=90^{circ} )]
이다. 따라서
[math(displaystyle sin{A}=sin{A'}=frac{a}{2R} )]
이고 이것을 정리하면,
[math(displaystyle frac{a}{sin{A}}=2R )]
이 얻어진다.
(ⅱ) [math(triangle mathrm{ABC})]가 둔각 삼각형일 때
파일:사인법칙_증명_둔각.png
위 그림에서 원주각의 성질에 따라
[math(displaystyle angle{A}=180^{circ}-angle{A'} )]
이고,
[math(displaystyle angle{mathrm{A'BC}}=90^{circ} )]
이다. 따라서
[math(displaystyle sin{A}=sin{(180^{circ}-A')}=sin{A'}=frac{a}{2R} )]
이고[1]인 것을 이용했다.] 이것을 정리하면,
[math(displaystyle frac{a}{sin{A}}=2R )]
얻어진다.
(ⅲ) [math(triangle mathrm{ABC})]가 직각 삼각형일 때
파일:사인법칙_증명_직각.png
위 그림에서 [math(angle{A}=90^{circ})]이다. 따라서
[math(displaystyle sin{A}=1 qquad qquad a=2R )]
이므로
[math(displaystyle frac{a}{sin{A}}=2R )]
이 성립한다.
2.2. 벡터곱을 이용한 증명
파일:사인법칙_증명_벡터외적.png
임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 0이다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle mathbf{B} times mathbf{B}=mathbf{0} )]
따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.
[math(displaystyle (mathbf{A-B}) times mathbf{B}=mathbf{A times B} )]
이때, 새로운 벡터 [math(mathbf{C})]를 아래와 같이 정의해보자.
[math(displaystyle mathbf{C} equiv mathbf{A-B} )]
이제 벡터 [math(mathbf{A})], [math(mathbf{B})], [math(mathbf{C})]는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상 [math(A)], [math(B)], [math(C)]라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자.
[math(displaystyle left| mathbf{A} right| equiv a qquad qquad left| mathbf{B} right| equiv bqquad qquad left| mathbf{C} right| equiv c )]
이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.
[math(displaystyle left| (mathbf{A-B}) times mathbf{B} right|=bcsin{A} )]
우변은,
[math(displaystyle left| mathbf{A} times mathbf{B} right|=absin{C} )]
위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면,
[math(displaystyle frac{sin{A}}{a}=frac{sin{C}}{c} )]
이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[2]로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.]
임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 0이다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(displaystyle mathbf{B} times mathbf{B}=mathbf{0} )]
따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.
[math(displaystyle (mathbf{A-B}) times mathbf{B}=mathbf{A times B} )]
이때, 새로운 벡터 [math(mathbf{C})]를 아래와 같이 정의해보자.
[math(displaystyle mathbf{C} equiv mathbf{A-B} )]
이제 벡터 [math(mathbf{A})], [math(mathbf{B})], [math(mathbf{C})]는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상 [math(A)], [math(B)], [math(C)]라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자.
[math(displaystyle left| mathbf{A} right| equiv a qquad qquad left| mathbf{B} right| equiv bqquad qquad left| mathbf{C} right| equiv c )]
이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.
[math(displaystyle left| (mathbf{A-B}) times mathbf{B} right|=bcsin{A} )]
우변은,
[math(displaystyle left| mathbf{A} times mathbf{B} right|=absin{C} )]
위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면,
[math(displaystyle frac{sin{A}}{a}=frac{sin{C}}{c} )]
이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[2]로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.]
3. 활용
- 각을 변으로 바꾸기
[math(displaystyle begin{aligned} sin{A} &=frac{a}{2R} \ sin{B}&=frac{b}{2R} \ sin{C}&=frac{c}{2R} end{aligned} )]
- 변을 각으로 바꾸기
[math(displaystyle begin{aligned} a&=2Rsin{A} \ b&=2Rsin{B} \ c&=2Rsin{C} end{aligned} )]
- 변의 비와 각에 따른 사인값의 비
[math(displaystyle a:b:c=sin{A}:sin{B}:sin{C} )]
3.1. 예제
사인법칙과 제2코사인법칙을 이용하여 아래 문제를 풀 수 있다.
파일:20190910(고2).png
세 변의 길이 비가 [math(2:3:4)]임을 알 수 있으므로, 제2코사인 법칙에 의해
[math( cos{C}= dfrac{2^2+3^2-4^2}{2cdot 2cdot 3}=-dfrac{1}{4})]
이다. 정답은 ②번.
파일:20190910(고2).png
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[풀이]
세 변의 길이 비가 [math(2:3:4)]임을 알 수 있으므로, 제2코사인 법칙에 의해
[math( cos{C}= dfrac{2^2+3^2-4^2}{2cdot 2cdot 3}=-dfrac{1}{4})]
이다. 정답은 ②번.