불완전 감마 함수(a,b)는 다음과 같이 정의된다.

[math(displaystyle Gammaleft ( a,b right )equivint_{b}^{infty}x^{a-1}e^{-x},{rm d}x)]

감마 함수는 여기서 b=0인 경우로, 불완전이라는 이름이 붙은 게 적분구간이 감마함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비초등함수로 분류되긴 하지만 a가 1 이상의 정수면 초등함수의 유한한 결합으로 표현이 가능하다.

[math(dfrac{partial}{partial x}Gammaleft( a,xright)=-x^{a-1}e^{-x})]이다.

우선 [math(displaystyle x=-t)]로 두면,
[math(displaystyle frac{rm dit x}{rm dit t}=-1)].
[math(displaystyle int frac{e^{-t}}{t}{rm d}t)]
[math(displaystyle - - int frac{e^{-t}}{t}{rm d}t)]
위 정의에서 [math(a=0,b=t)]를 대입하면 그 함수가 위 함수의 부정적분이 된다.
[math(displaystyle - Gammaleft ( 0,t right )+{sf const.})]
[math(t=-x)]이므로,
[math(displaystyle - Gammaleft ( 0,-x right )+{sf const.})]
여기서 적분상수를 제외한 부분을 [math({rm Ei}(x)equiv - Gammaleft ( 0,-x right ))]로 정의한다.

[math(displaystyle ln x=t)]로 치환.
그러면,
[math(displaystyle x=e^{t})]
[math(displaystyle frac{rm dit x}{rm dit t}=e^{t})]
[math(displaystyle int frac{e^{t}}{t} {rm d}t)]
[math(displaystyle - Gammaleft ( 0,-t right )+{sf const.})]
[math(displaystyle - Gammaleft ( 0,-ln x right )+{sf const.})]
마찬가지로 [math({rm li}(x)equiv - Gammaleft ( 0,-ln x right ))]로 정의한다.

[math(displaystyle x=sqrt t)]로 두면,
[math(displaystyle frac{rm dit x}{rm dit t}=frac{1}{2sqrt t})].
[math(displaystyle int frac{e^{-t}}{2sqrt t}{rm d}t)]
[math(displaystyle - frac{1}{2} cdot -int t^{frac 12 -1}e^{-t}{rm d}t)]
위 정의에서 [math(a=dfrac 12)]인 경우가 위의 적분식과 동일하므로
[math(displaystyle -frac 12 Gammaleft ( frac 12,t right )+{sf const.})]
[math(t=x^2)]이므로,
[math(displaystyle -frac 12 Gammaleft ( frac 12,x^2 right ) +{sf const.})]
한편 [math({rm erf}(x)equiv -dfrac{1}{sqrt{pi}} Gammaleft ( dfrac 12,x^2 right ))]로 정의할 수 있는데, 위 둘과는 다르게 곱해지는 상수가 다르다.[1]를 곱한 것이다.]

하부 감마 함수가 있는데 이렇게 정의된다.
[math(displaystyle gammaleft ( a,b right )equivint_{0}^{b}x^{a-1}e^{-x}{rm d}x)]