[include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 정의 == 불완전 감마 함수(a,b)는 다음과 같이 정의된다. [math(\displaystyle \Gamma\left ( a,b \right )\equiv\int_{b}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,{\rm d}x)] [[감마 함수]]는 여기서 b=0인 경우로, 불완전이라는 이름이 붙은 게 적분구간이 감마함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비[[초등함수]]로 분류되긴 하지만 a가 1 이상의 [[정수]]면 초등함수의 유한한 결합으로 표현이 가능하다. == 미분 == [math(\dfrac{\partial}{\partial x}\Gamma\left( a,x\right)=-x^{a-1}e^{-x})]이다. == 위 정의를 이용하여 부정적분 구하기 == === 1탄:[math(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x} {\rm d}x)] === 우선 [math(\displaystyle x=-t)]로 두면, [math(\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=-1)]. [math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{t}{\rm d}t)] [math(\displaystyle - - \int \frac{e^{-t}}{t}{\rm d}t)] 위 정의에서 [math(a=0,b=t)]를 대입하면 그 함수가 위 함수의 [[부정적분]]이 된다. [math(\displaystyle - \Gamma\left ( 0,t \right )+{\sf const.})] [math(t=-x)]이므로, [math(\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-x \right )+{\sf const.})] 여기서 적분상수를 제외한 부분을 [[지수 적분 함수|[math({\rm Ei}(x)\equiv - \Gamma\left ( 0,-x \right ))]]]로 정의한다. === 2탄:[math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x)] === [math(\displaystyle \ln x=t)]로 치환. 그러면, [math(\displaystyle x=e^{t})] [math(\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=e^{t})] [math(\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t} {\rm d}t)] [math(\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-t \right )+{\sf const.})] [math(\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-\ln x \right )+{\sf const.})] 마찬가지로 [[로그 적분 함수|[math({\rm li}(x)\equiv - \Gamma\left ( 0,-\ln x \right ))]]]로 정의한다. === 3탄:[math(\displaystyle \int e^{-x^2} {\rm d}x)] === [math(\displaystyle x=\sqrt t)]로 두면, [math(\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=\frac{1}{2\sqrt t})]. [math(\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt t}{\rm d}t)] [math(\displaystyle - \frac{1}{2} \cdot -\int t^{\frac 12 -1}e^{-t}{\rm d}t)] 위 정의에서 [math(a=\dfrac 12)]인 경우가 위의 적분식과 동일하므로 [math(\displaystyle -\frac 12 \Gamma\left ( \frac 12,t \right )+{\sf const.})] [math(t=x^2)]이므로, [math(\displaystyle -\frac 12 \Gamma\left ( \frac 12,x^2 \right ) +{\sf const.})] 한편 [[오차함수|[math({\rm erf}(x)\equiv -\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left ( \dfrac 12,x^2 \right ))]]]로 정의할 수 있는데, 위 둘과는 다르게 곱해지는 상수가 다르다.[* 정확히는 위 계산식에 [math(\dfrac{2}{\sqrt{\pi}})]를 곱한 것이다.] == 자매품 == 하부 감마 함수가 있는데 이렇게 정의된다. [math(\displaystyle \gamma\left ( a,b \right )\equiv\int_{0}^{b}x^{a-1}e^{-x}{\rm d}x)] == 관련 문서 == *[[감마 함수]] [[분류:비초등함수]]