베르누이 미분방정식은 [math(y)]가 [math(t)]의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.
[math(y'(t) + p(t) y(t) = q(t) y(t)^nqquad(nneq 0, 1))][1] 또는 [math(n=1)]이면 선형 1계 상미분 방정식으로 쉽게 풀린다.]

이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야코프 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예다.

자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 [math(y^n)]로 나누고 [math(displaystyle u = frac{1}{y^{n-1}})]로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
[math(u'(t) + (1-n) p(t) u(t) = (1-n) q(t))]
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 [math(u^*(t))]라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 [math(displaystyle y(t) = Big[u^*(t)Big]^{frac{1}{1-n}})]이다.

풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 [math(P(t) = (1-n) p(t))]라고 하고 [math(Q(t)=(1-n)q(t))]라고 하면 적분인자는 [math(displaystyle e^{int P(t),mathrm{d}t})]이고, 이로부터 [math(u^*(t))]를 다음과 같이 얻을 수 있다.
[math(displaystyle u^*(t) = frac{int e^{int P(t),mathrm{d}t} Q(t),mathrm{d}t + C}{e^{int P(t),mathrm{d}t}} = frac{(1-n)int e^{(1-n)int p(t),mathrm{d}t} q(t),mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)int p(t),mathrm{d}t}})]
따라서 초기조건에 따라 적분상수 [math(C)]를 적당한 값으로 정해주면 [math(y(t))]는 다음과 같다.
[math(displaystyle y(t) = left[ frac{(1-n)int e^{(1-n)int p(t),mathrm{d}t} q(t),mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)int p(t),mathrm{d}t}}right]^{frac{1}{1-n}})]