{{{+1 Bernoulli differential equation}}} [목차] == 개요 == 베르누이 미분방정식은 [math(y)]가 [math(t)]의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 [[미분방정식|상미분 방정식]]이다. [math(y'(t) + p(t) y(t) = q(t) y(t)^n\qquad(n\neq 0, 1))][* 여기서 [math(n=0)] 또는 [math(n=1)]이면 선형 1계 상미분 방정식으로 쉽게 풀린다.] 이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 [[야코프 베르누이]]의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. [[로지스틱 방정식]]은 베르누이 미분방정식의 한 예다. == 해법 == 자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 [math(y^n)]로 나누고 [math(\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}})]로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다. [math(u'(t) + (1-n) p(t) u(t) = (1-n) q(t))] 이렇게 치환된 문제는 [[미분방정식#s-4.1|적분인자를 사용한 해법]]으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 [math(u^*(t))]라 하면 베르누이 미분방정식의 해는 [math(\displaystyle y(t) = \Big[u^*(t)\Big]^{\frac{1}{1-n}})]이다. 풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 [math(P(t) = (1-n) p(t))]라고 하고 [math(Q(t)=(1-n)q(t))]라고 하면 적분인자는 [math(\displaystyle e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t})]이고, 이로부터 [math(u^*(t))]를 다음과 같이 얻을 수 있다. [math(\displaystyle u^*(t) = \frac{\int e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t} Q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{\int P(t)\,\mathrm{d}t}} = \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}})] 따라서 초기조건에 따라 적분상수 [math(C)]를 적당한 값으로 정해주면 [math(y(t))]는 다음과 같다. [math(\displaystyle y(t) = \left[ \frac{(1-n)\int e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t} q(t)\,\mathrm{d}t + C}{e^{(1-n)\int p(t)\,\mathrm{d}t}}\right]^{\frac{1}{1-n}})] [[분류:방정식]]