Münc(h)hausen[1] number / Münc(h)hausen 數

음이 아닌 정수 [math(n)]과 [math(i)], [math(lfloor{rm{log};n}rfloor=k)]를 만족시키는 [math(k)], [math(0leq a_ileq 9)]인 정수 [math(a_i)]에 대하여

[2]
을 만족시키는 정수 [math(n)]을 뮌하우젠 수라고 한다. 쉽게 말해 십진법으로 나타낸 정수에 대하여, 각 자리를 그 자리 번 거듭제곱한 결과를 모두 더하면 자기 자신이 되는 정수가 뮌하우젠 수라는 뜻이다. 본래 [math(0^0)]은 정의되지 않지만, 뮌하우젠 수에서는 [math(0^0=0)]으로 정의하여, 숫자 0을 포함하는 수도 뮌하우젠 수가 되도록 한다.

정수 [math(n=displaystylesum_{i=0}^k 10^i a_i)]에 대하여 [math(S(n)=displaystylesum_{i=0}^k {a_i}^{a_i})]으로 놓으면


곧, [math(n)]이 [math(m)]자리 수일 때, [math(S(n))]이 최대한 커지려면 [math(m)]자리 정수 [math(n)]의 모든 자릿수가 [math(9)]여야 하기에 [math(S(n))]의 최댓값은 [math(9^9m)]이라는 말이다.

이때 자연수 [math(m)]에 관한 지수방정식 [math(9^9m<10^{m-1}-1)]의 해는 [math(mgeq 11)]이다. 풀이

이는 11자리 이상의 정수는 무조건 [math(S(n)<n)]이라는 뜻이다. 다시 말해서 [math(ngeq 10^{10})]인 정수 [math(n)]은 [math(S(n)=n)]이 될 여지가 없으므로 뮌하우젠 수가 아니다.

한편 [math(S(n))]은 [math(0)] 또는 양수의 양수 거듭제곱들의 합이므로 음수가 될 수 없다.[3]) 유일한 예외로, [math(-1)]의 자기제곱은 자기 자신이 된다([math((-1)^{-1} = dfrac{1}{-1} = -1)]).] 따라서 음수는 뮌하우젠 수가 될 수 없다.

음수와 11자리 이상의 정수가 뮌하우젠 수가 아니라는 사실은 뮌하우젠 수의 개수가 유한함을 함의한다. 따라서 [math(10^{10}-1)] 이하의 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대해서만 계산을 실행해 보면 모든 뮌하우젠 수를 찾아낼 수 있는 셈이다.

원칙적으로 뮌하우젠 수는 [math(1)]과 [math(3435)]밖에 없어야 한다.

[math(1=1^1,;3435=3^3+4^4+3^3+5^5)]

그러나 [math(0^0=0)]으로 정의한다면 [math(0)]과 [math(438579088)]도 뮌하우젠 수가 된다.

[math(0=0^0,;438579088=4^4+3^3+8^8+5^5+7^7+9^9+0^0+8^8+8^8)]

최종적으로, 뮌하우젠 수는 [math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)] 딱 네 개밖에 없다.

여기에서는 딱 한 자리의 값이 달라서 뮌하우젠 수가 되지 않는 수를 적는다. 단, 다음을 주의한다.

[math(a_n=10^n+32)]([math(ngeq 2)])라 하면 [math(a_2=132, a_3=1032, a_4=10032,cdots)]가 된다. 그러면

따라서 [math(a_n-S(a_n)=10^n)]이다. 다시 말해서, 자연수 [math(a_n)]은 [math(S(a_n))]과 [math(10^k)]의 자리만이 다르다는 뜻이다. 그러나 엄밀히 말하자면, [math(a_n)]의 값에 관계없이 [math(S(a_n)=32)]인데 이 [math(32)]는 십의 자리와 일의 자리만을 갖고 있기 때문에 [math(ngeq 2)]인 이상 '무슨 자리가 다르다'라고 얘기할 수조차 없다. 자리가 있어야 얘기를 하든 말든 할 것 아닌가. 이러한 이유와 함께, [math(10^n+32)]([math(ngeq 2)]) 꼴의 자연수는 무수히 많으므로 아래의 목록에는 적지 않는다.

한편, 이런 수들 중에서는 [math(18574367)]과 [math(18577465)]처럼 자리의 값이 서로 유사한 수들이 많다.

[math(3^3+2^2=3boldsymbolred1)]

[math(3^3+4^4+3^3+7^7+8^8+3^3+3^3+8^8=3437833boldsymbolred9)]

[math(4^4+3^3+8^8+5^5+8^8+9^9+0^0+8^8+7^7=43858908boldsymbolred8)]

[math(1^1+6^6+8^8+2^2+4^4+4^4+3^3+3^3=168244boldsymbolred43)]

[math(1^1+7^7+6^6+5^5+0+8^8+3^3+4^4=176508boldsymbolred24)]

[math(4^4+3^3+8^8+5^5+8^8+9^9+0^0+7^7+8^8=4385790boldsymbolred88)]

[math(1^1+6^6+8^8+2^2+4^4+3^3+4^4+3^3=16824boldsymbolred443)]

[math(1^1+8^8+4^4+7^7+7^7+5^5+6^6+5^5=18477boldsymbolred465)]

[math(1^1+6^6+8^8+2^2+3^3+4^4+4^4+3^3=1682boldsymbolred4443)]

[math(1^1+8^8+4^4+7^7+5^5+3^3+6^6+7^7=1847boldsymbolred4367)]

[math(1^1+1^1+7^7+9^9+8^8+9^9+2^2+4^4+9^9+2^2=11798boldsymbolred62492)]

[math(1^1+1^1+7^7+9^9+9^9+9^9+8^8+6^6+6^6+5^5=11799boldsymbolred58665)]

[math(1^1+7^7+5^5+0^0+2^2+1^1+7^7=1boldsymbolred650217)]

[math(1^1+7^7+5^5+0+4^4+7^7+2^2=1boldsymbolred650472)]

[math(1^1+8^8+5^5+7^7+4^4+3^3+6^6+7^7=18boldsymbolred474367)]

[math(1^1+8^8+5^5+7^7+7^7+4^4+6^6+5^5=18boldsymbolred477465)]

[math(1^1+8^8+6^6+1^1+7^7+6^6+1^1+7^7=18boldsymbolred517617)]

[math(2^2+6^6+8^8+2^2+4^4+4^4+2^2+3^3=boldsymbolred16824423)]