분류
1. 개요
Ramanujan summation
인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 고안한 수식이다. [math(1+2+3+4+cdots)]은 당연히 무한대로 발산하므로 수가 아니다. 그런데, 이 비범한 천재 라마누잔은 그걸 하나의 수로 가정하고 식을 전개한 뒤,
[math(displaystyle 1+2+3+4+cdots=-frac{1}{12})]
이 된다고 직관적으로 계산해 냈다.
사실 라마누잔합이라고 부르는 개념은 이렇게 단순한 것이 아니지만, 제대로 알아보려면 복소해석학을 배워야 한다. 해석적 확장이라는 개념을 사용하기 때문.
2. 분석
2.1. 1−2+3−4+⋯
라마누잔은 이를 직관적으로 [math(1/4)]라고 계산했다. 라마누잔의 계산과정은 이곳에 잘 설명되어 있다. 이를 증명하면 아래와 같다.
[math(|x|<1)] 에 대해서 무한등비급수
[math(displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+cdots=frac{1}{1-x})]
이 성립한다. [math(x)] 대신 [math(-x)]를 대입하여 식을 변형하면,
[math(displaystyle 1-x+x^2-x^3+x^4-cdots=frac{1}{1+x})]
이 된다. 미분하면
[math(displaystyle-1+2x-3x^2+4x^3-cdots=frac{-1}{(1+x)^2})]
양변에 -1을 곱하면 아래와 같이 된다.
[math(displaystyle1-2x+3x^2-4x^3+cdots=frac{1}{(1+x)^2})]
이 식은 애초에 [math(|x|<1)] 에서만 성립한다. 그런데, [math(x to 1^{-})]의 극한[1]을 생각해보면 다음과 같은 식이 성립한다.
[math(displaystyle begin{aligned} 1-2x+3x^2-4x^3+cdots &= frac{1}{(1+x)^2} \ lim_{xrightarrow 1^{-}}(1-2x+3x^2-4x^3+cdots) &= lim_{xrightarrow 1^{-}}frac{1}{(1+x)^2} \ \ therefore 1-2+3-4+cdots&=frac{1}{(1+1)^2}=frac{1}{4} end{aligned})]
이 식은 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로 [math(x=1)]에서는 정의되진 않는다. 좌극한은 존재하나 우극한이 존재하지 않기 때문이다.[2]이지만 정작 0를 기준으로 한 극한은 [math(displaystyle lim_{x to 0^+} mathrm{sgn}(x)=1)], [math(displaystyle lim_{x to 0^-} mathrm{sgn}(x)=-1)]로 전부 [math(mathrm{sgn}(0))]과는 다른 값을 띠기 때문에 0에 대한 극한값이 '없다'고 정의된다.] 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 [math(mathbf{1/4})]이다.
[math(|x|<1)] 에 대해서 무한등비급수
[math(displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+cdots=frac{1}{1-x})]
이 성립한다. [math(x)] 대신 [math(-x)]를 대입하여 식을 변형하면,
[math(displaystyle 1-x+x^2-x^3+x^4-cdots=frac{1}{1+x})]
이 된다. 미분하면
[math(displaystyle-1+2x-3x^2+4x^3-cdots=frac{-1}{(1+x)^2})]
양변에 -1을 곱하면 아래와 같이 된다.
[math(displaystyle1-2x+3x^2-4x^3+cdots=frac{1}{(1+x)^2})]
이 식은 애초에 [math(|x|<1)] 에서만 성립한다. 그런데, [math(x to 1^{-})]의 극한[1]을 생각해보면 다음과 같은 식이 성립한다.
[math(displaystyle begin{aligned} 1-2x+3x^2-4x^3+cdots &= frac{1}{(1+x)^2} \ lim_{xrightarrow 1^{-}}(1-2x+3x^2-4x^3+cdots) &= lim_{xrightarrow 1^{-}}frac{1}{(1+x)^2} \ \ therefore 1-2+3-4+cdots&=frac{1}{(1+1)^2}=frac{1}{4} end{aligned})]
이 식은 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로 [math(x=1)]에서는 정의되진 않는다. 좌극한은 존재하나 우극한이 존재하지 않기 때문이다.[2]이지만 정작 0를 기준으로 한 극한은 [math(displaystyle lim_{x to 0^+} mathrm{sgn}(x)=1)], [math(displaystyle lim_{x to 0^-} mathrm{sgn}(x)=-1)]로 전부 [math(mathrm{sgn}(0))]과는 다른 값을 띠기 때문에 0에 대한 극한값이 '없다'고 정의된다.] 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 [math(mathbf{1/4})]이다.
2.2. 1+2+3+4+⋯
다시 라마누잔의 메모로 돌아가서 [math( c = 1 + 2 + 3 + 4 + cdots )]으로 두고, 양 변에 4를 곱한 뒤 한 칸씩 엇갈려서 두 식을 빼면
[math(begin{matrix}&c&=&1&+&2&+&3&+&4&+&5&+&6&+&7&+&8&+&9&+&10&+&cdots& \ - &4c&=&&&4&&+&&8&&+&&12&&+&&16&&+&&20&+&cdots&\ hline &-3c&=&1&-&2&+&3&-&4&+&5&-&6&+&7&-&8&+&9&-&10&+&cdots& \ \ end{matrix} \ )]
|
앞에서
[math(displaystyle1-2+3-4+cdots=frac{1}{4})]
이라고 계산했으니,
[math(displaystyle -3c = frac{1}{4} ; to ; 1+2+3+4+cdots=-frac{1}{12})]
이 된다. 일반적인 덧셈과 구분하기 위해서 [math( (Re) )] 이란 표기를 추가하여
[math(displaystyle1+2+3+4+cdots=-frac{1}{12} (Re) )]
로 표기한다.
[math(displaystyle1-2+3-4+cdots=frac{1}{4})]
이라고 계산했으니,
[math(displaystyle -3c = frac{1}{4} ; to ; 1+2+3+4+cdots=-frac{1}{12})]
이 된다. 일반적인 덧셈과 구분하기 위해서 [math( (Re) )] 이란 표기를 추가하여
[math(displaystyle1+2+3+4+cdots=-frac{1}{12} (Re) )]
로 표기한다.
3. 그 외 유사한 결과들
3.1. 1−1+1−1+⋯
앞에서 언급한 무한등비급수
[math(displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+cdots=frac{1}{1-x})]
에서 [math(x to -1)]의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.
[math(displaystyle1-1+1-1+cdots=frac{1}{1+1}=frac{1}{2} (Re))]
앞의 것과 마찬가지로 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 [math(boldsymbol{1/2})]이다.
참고로, 이 급수는 그란디 급수란 이름이 있으며 라마누잔합은 '이렇게 부분합이 수렴하지 않는 무한급수의 값은 어떻게 정의할 수 있을까?'란 질문에 답하기 위해 개발된 기법중 하나다.
[math(displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+cdots=frac{1}{1-x})]
에서 [math(x to -1)]의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.
[math(displaystyle1-1+1-1+cdots=frac{1}{1+1}=frac{1}{2} (Re))]
앞의 것과 마찬가지로 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 [math(boldsymbol{1/2})]이다.
참고로, 이 급수는 그란디 급수란 이름이 있으며 라마누잔합은 '이렇게 부분합이 수렴하지 않는 무한급수의 값은 어떻게 정의할 수 있을까?'란 질문에 답하기 위해 개발된 기법중 하나다.
3.2. 1+2+4+8+16+⋯
앞에서 언급한 무한등비급수
[math(displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+cdots=frac{1}{1-x})]
에서 [math(x to 2)]의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.
[math(displaystyle1+2+4+8+16+cdots=frac{1}{1-2}=-1 (Re))]
앞의 것과 마찬가지로 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 −1이다.
[math(displaystyle 1+x+x^2+x^3+x^4+cdots=frac{1}{1-x})]
에서 [math(x to 2)]의 극한을 구해 보면, 아래와 같다.
[math(displaystyle1+2+4+8+16+cdots=frac{1}{1-2}=-1 (Re))]
앞의 것과 마찬가지로 [math(|x|<1)] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 −1이다.
4. 일반화
5. 리만 가설과의 관계
이 직관과는 거리가 먼 결과들은 나중에 리만 가설과 연관성이 발견되면서 재평가를 받는다.
리만 가설의 바로 그 베른하르트 리만은 소수 정리를 연구하면서 리만 제타 함수라는 것을 만드는데 아래와 같다.
[math(displaystylezeta(x) =sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^x})]
이 식은 원래 실수 중에서 [math(x>1)]일 때만 수렴하는 식이다. 리만은 이를 복소수로 확장하여 [math(x)]의 실수부가 1보다 크기만 하면 수렴한다고 증명하였다. 그리고, 그렇지 않은 [math(x)]에 대해서도 연구하기 시작한다. 그리고, 방정식 [math(displaystylezeta(x) =0)] 에 대해서 −2, −4, −6, −8, [math(cdots)] 등의 해가 있음(자명한 근)을 증명하였고, 자명하지 않은 근이 존재함도 밝혔는데, '자명하지 않은 근의 실수부는 모두 [math(1/2)] 이다.'가 그 유명한 리만 가설이다.
참고로, 리만 제타 함수에 [math(x=-1)]을 대입하면 바로 위의 그 식이 나오며, 리만 제타 함수에서도 이 값은
[math(displaystyle zeta(-1) = 1+2+3+4+cdots=-frac{1}{12})]
이 나온다. 단, 이렇게 쓰기 위해서는 여러 가지 수학적 장치가 필요하다.
리만 가설의 바로 그 베른하르트 리만은 소수 정리를 연구하면서 리만 제타 함수라는 것을 만드는데 아래와 같다.
[math(displaystylezeta(x) =sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^x})]
이 식은 원래 실수 중에서 [math(x>1)]일 때만 수렴하는 식이다. 리만은 이를 복소수로 확장하여 [math(x)]의 실수부가 1보다 크기만 하면 수렴한다고 증명하였다. 그리고, 그렇지 않은 [math(x)]에 대해서도 연구하기 시작한다. 그리고, 방정식 [math(displaystylezeta(x) =0)] 에 대해서 −2, −4, −6, −8, [math(cdots)] 등의 해가 있음(자명한 근)을 증명하였고, 자명하지 않은 근이 존재함도 밝혔는데, '자명하지 않은 근의 실수부는 모두 [math(1/2)] 이다.'가 그 유명한 리만 가설이다.
참고로, 리만 제타 함수에 [math(x=-1)]을 대입하면 바로 위의 그 식이 나오며, 리만 제타 함수에서도 이 값은
[math(displaystyle zeta(-1) = 1+2+3+4+cdots=-frac{1}{12})]
이 나온다. 단, 이렇게 쓰기 위해서는 여러 가지 수학적 장치가 필요하다.
6. 관련 문서
[1] 쉬운 예로 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, 0.999999, [math(cdots)] 식으로 증가하면서 1에 수렴하는 극한[2] 극한값은 어느 방향으로 다가서더라도 같은 값을 가져야 한다. 단적인 예로, 부호 함수의 경우 [math(mathrm{sgn}(0)=0)