구데르만 함수(Gudermannian function)는 특수함수의 일종으로, 다음과 같이 정의된다.
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{gd}(x)&equiv int_{0}^{x} mathrm{sech} , t ,mathrm{d}t \ mathrm{igd}(x) &equiv int_{0}^{x} sec t ,mathrm{d}t end{aligned})]
형태에서 보듯 특정 삼각함수, 쌍곡선 함수의 정적분으로 정의된다. 이 두 함수는 서로 역함수 관계이며 원점 대칭함수(기함수)이다.
그래프는 다음과 같으며, (a), (b)는 각각 [math(y=mathrm{gd}(x))], [math(y=mathrm{igd}(x))]의 그래프이다.
파일:Plotting_Gudermannian function.png
극한은 다음과 같다.(단, 복부호 동순)
[math(displaystyle begin{aligned} lim_{x to pm infty} mathrm{gd}(x) &= pm frac{pi}{2} \ lim_{x to pm {pi}/{2}} mathrm{igd}(x) &= pm infty end{aligned})]
이 두 함수는 아래와 같은 항등식을 갖는다.
[math(displaystyle begin{aligned} mathrm{gd}(x) &= (arcsin circ tanh)(x) \& = (arctan circ sinh)(x)\& = (mathrm{arccsc} circ coth)(x)\& = mathrm{sgn}(x)(arccos circ, mathrm{sech})(x)\& = mathrm{sgn}(x)(mathrm{arcsec} circ cosh)(x) \&= 2 (arctan circ tanh)left(dfrac{x}{2}right) \&= 2 arctan(e^x) - dfrac{pi}{2} \ \ mathrm{igd}(x) &= ln |sec x (1 + sin x)| \&= ln left|sec x + tan xright| \&= ln left| tan left(dfrac{pi}{4}+dfrac{x}{2} right) right| \&= (mathrm{artanh} circ sin)(x) \&= (mathrm{arsinh} circ tan)(x) \&= 2 (mathrm{artanh} circ tan)left(dfrac{x}{2}right) end{aligned} )]
위에서 [math(mathrm{sgn}(x))]는 부호 함수이다.