분류
1. 개요
2. 요약
파일:메넬라우스의 정리.png
[2]
주어진 [math(triangle ABC)]에서 꼭짓점이 아닌 점 [math(D)], [math(E)], [math(F)]가 각각 [math(overline{BC})], [math(overline{CA})], [math(overline{AB})] 위에 있다고 하자. 이때, [math(D)], [math(E)], [math(F)]가 한 직선 위의 점이면 [math(frac{overline{CD}}{overline{DB}}timesfrac{overline{BF}}{overline{FA}}timesfrac{overline{AE}}{overline{EC}}=1)]가 성립한다. 단, 직선이 반드시 그림처럼 삼각형을 횡단하지 않아도 상관없다.
원래는 [math(frac{CD}{DB}timesfrac{BF}{FA}timesfrac{AE}{EC}=1)]로 표현하는 것이 정확하다. 여기서 선분 기호를 넣지 않으면 선분의 기호에 방향성까지 고려하는 것이 되므로 등식을 이해하는데 도움이 된다. 또한, 메넬라오스 정리 또는 역을 이용할 때 어떤 선분들을 가지고 등식을 만족하는지 고르기 어려운 경우가 있으므로 위의 등식이 더 바람직하다고 하겠다.
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주어진 [math(triangle ABC)]에서 꼭짓점이 아닌 점 [math(D)], [math(E)], [math(F)]가 각각 [math(overline{BC})], [math(overline{CA})], [math(overline{AB})] 위에 있다고 하자. 이때, [math(D)], [math(E)], [math(F)]가 한 직선 위의 점이면 [math(frac{overline{CD}}{overline{DB}}timesfrac{overline{BF}}{overline{FA}}timesfrac{overline{AE}}{overline{EC}}=1)]가 성립한다. 단, 직선이 반드시 그림처럼 삼각형을 횡단하지 않아도 상관없다.
원래는 [math(frac{CD}{DB}timesfrac{BF}{FA}timesfrac{AE}{EC}=1)]로 표현하는 것이 정확하다. 여기서 선분 기호를 넣지 않으면 선분의 기호에 방향성까지 고려하는 것이 되므로 등식을 이해하는데 도움이 된다. 또한, 메넬라오스 정리 또는 역을 이용할 때 어떤 선분들을 가지고 등식을 만족하는지 고르기 어려운 경우가 있으므로 위의 등식이 더 바람직하다고 하겠다.
더 일반적인 형태를 소개하자면,
[math(frac{overrightarrow{DC}}{overrightarrow{DB}} times frac{overrightarrow{EA}}{overrightarrow{EC}} times frac{overrightarrow{FB}}{overrightarrow{FA}} = -1,)]
[math(frac{overrightarrow{DC}}{overrightarrow{DB}} times frac{overrightarrow{EA}}{overrightarrow{EC}} times frac{overrightarrow{FB}}{overrightarrow{FA}} = -1,)]
에서 볼 수 있듯이, 선분 자체에 방향성을 부여해서 우변을 음수로 두는 꼴이다.
2.1. 증명
파일:attachment/untitled_6.png
점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]에서 반직선 PR에 내린 수선의 발을 각각 [math(X)],[math(Y)], [math(Z)]라고 할때
삼각형 [math(triangle PZC)]와 [math(triangle PYB)]가 닮음이므로 [math(frac{overline{BP}}{overline{CP}}=frac{overline{BY}}{overline{CZ}})]이다.
삼각형 [math(triangle QCZ)]와 [math(triangle QAX)]가 닮음이므로[math(frac{overline{CQ}}{overline{AQ}}=frac{overline{CZ}}{overline{AX}})]이다.
삼각형 [math(triangle RXA)]와 [math(triangle RYB)]가 닮음이므로 [math(frac{overline{AR}}{overline{BR}}=frac{overline{AX}}{overline{BY}})]이다.
변변 곱하면 증명 끝.
점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]에서 반직선 PR에 내린 수선의 발을 각각 [math(X)],[math(Y)], [math(Z)]라고 할때
삼각형 [math(triangle PZC)]와 [math(triangle PYB)]가 닮음이므로 [math(frac{overline{BP}}{overline{CP}}=frac{overline{BY}}{overline{CZ}})]이다.
삼각형 [math(triangle QCZ)]와 [math(triangle QAX)]가 닮음이므로[math(frac{overline{CQ}}{overline{AQ}}=frac{overline{CZ}}{overline{AX}})]이다.
삼각형 [math(triangle RXA)]와 [math(triangle RYB)]가 닮음이므로 [math(frac{overline{AR}}{overline{BR}}=frac{overline{AX}}{overline{BY}})]이다.
변변 곱하면 증명 끝.
3. 역정리
이 정리의 역도 성립한다. 즉, [math( frac{overline{AR}}{overline{RB}}timesfrac{overline{BP}}{overline{PC}}timesfrac{overline{CQ}}{overline{QA}}=1 )]가 성립하면 [math(P)], [math(Q)], [math(R)]는 공선점이다. 증명은 동일한 방법으로 하면 된다.
파일:puOa5tL.png
[math(overline{QR})]의 연장선의 교점과 [math(overline{BC})] 의 교점을 [math(P')]이라 한 후, [math(P)]와 [math(P')]가 같은 점임을 보이면 증명이 완료된다. 일단 [math(P', Q, R)]이 공선점이므로, [math( frac{overline{AR}}{overline{RB}}timesfrac{overline{BP'}}{overline{P'C}}timesfrac{overline{CQ}}{overline{QA}}=1 )]가 성립한다. 한편, 원래 조건에서 [math( frac{overline{AR}}{overline{RB}}timesfrac{overline{BP}}{overline{PC}}timesfrac{overline{CQ}}{overline{QA}}=1 )]도 성립하므로, [math(frac{overline{BP'}}{overline{P'C}} = frac{overline{BP}}{overline{PC}})]여야 한다. 이제, [math(overline{BC} = a)], [math(overline{CP'} = b)], [math(overline{P'P} = x)]로 놓고 간단한 계산을 하면 [math(x=0)]임을 알 수 있다.
따라서 [math(P)]와 [math(P')]는 같은 점이므로, [math(P, Q, R)]는 공선점이다.
파일:puOa5tL.png
[math(overline{QR})]의 연장선의 교점과 [math(overline{BC})] 의 교점을 [math(P')]이라 한 후, [math(P)]와 [math(P')]가 같은 점임을 보이면 증명이 완료된다. 일단 [math(P', Q, R)]이 공선점이므로, [math( frac{overline{AR}}{overline{RB}}timesfrac{overline{BP'}}{overline{P'C}}timesfrac{overline{CQ}}{overline{QA}}=1 )]가 성립한다. 한편, 원래 조건에서 [math( frac{overline{AR}}{overline{RB}}timesfrac{overline{BP}}{overline{PC}}timesfrac{overline{CQ}}{overline{QA}}=1 )]도 성립하므로, [math(frac{overline{BP'}}{overline{P'C}} = frac{overline{BP}}{overline{PC}})]여야 한다. 이제, [math(overline{BC} = a)], [math(overline{CP'} = b)], [math(overline{P'P} = x)]로 놓고 간단한 계산을 하면 [math(x=0)]임을 알 수 있다.
따라서 [math(P)]와 [math(P')]는 같은 점이므로, [math(P, Q, R)]는 공선점이다.
4. 일반화
파일:JUze4Yk.png
알아두면 꽤나 유용한 사실로, 원래 메넬라오스 정리는 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PC}}{overline{BP}}timesfrac{overline{QA}}{overline{CQ}} )]와 같이 세 선분 위의 길이의 비를 곱해서 1이 되었는데, 사실은 몇 번을 돌아다니면서 길이비를 곱해도 다음 조건들만 만족한다면 길이비의 곱이 1이 된다.
1. 각 길이비 항은 반드시 한 직선 내의 길이비여야 한다. 즉 [math( frac{overline{QR}}{overline{AQ}})] 같은 건 [math(A, Q, R)]가 공선점이 아니므로 안 되고 [math( frac{overline{QC}}{overline{AQ}})] 같은 건 된다는 뜻.
2. 한 항의 '끝점'과 다음 항의 '시작점'이 같아야 한다.[3]에서는 [math(A)]가 '시작점'이고 [math(C)]가 '끝점'이다.] 즉 메넬라오스 정리를 이용할 때 한붓그리기처럼 쭉 이어가면서 길이비를 따지듯이 할 수 있어야 한다는 것. 예를 들어 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PB}}{overline{CP}} )] 같은 건 첫 항의 끝점이 [math(B)]인데 다음 항의 시작점이 [math(C)]이므로 안 된다.
3. 첫 항의 '시작점'과 마지막 항의 '끝점'이 같아야 한다. 즉 처음 시작한 곳으로 다시 돌아와야 한다. 예를 들어 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PC}}{overline{BP}}timesfrac{overline{AQ}}{overline{CA}} )] 같은 것은 [math(A)]로 시작해서 [math(Q)]로 끝났으므로 길이비의 곱이 1이 안 된다.
위의 세 조건을 요약하자면, 그냥 평소 메넬라오스 정리를 쓸 때처럼 하되 마지막에 처음 점으로 돌아오기만 하면 길이비의 곱이 1이 된다는 것이다. 즉, [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{CP}}{overline{BC}}timesfrac{overline{RQ}}{overline{PR}}timesfrac{overline{AC}}{overline{QA}}timesfrac{overline{PB}}{overline{CP}}timesfrac{overline{RA}}{overline{BR}} )] 처럼 해도 1이 된다. 심지어 시작점이 [math(R, Q, C)]같은 점이어도 상관 없다!
실제로 메넬라오스 정리의 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PC}}{overline{BP}}timesfrac{overline{QA}}{overline{CQ}} )] 는 위 세 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있다.
증명은 각 점에 대해 적절한 함숫값을 주고, 길이비와 그 함숫값의 곱이 불변량임을 보이면 된다. 다만 이 과정에서 상당한 노가다를 필요로 한다.
알아두면 꽤나 유용한 사실로, 원래 메넬라오스 정리는 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PC}}{overline{BP}}timesfrac{overline{QA}}{overline{CQ}} )]와 같이 세 선분 위의 길이의 비를 곱해서 1이 되었는데, 사실은 몇 번을 돌아다니면서 길이비를 곱해도 다음 조건들만 만족한다면 길이비의 곱이 1이 된다.
1. 각 길이비 항은 반드시 한 직선 내의 길이비여야 한다. 즉 [math( frac{overline{QR}}{overline{AQ}})] 같은 건 [math(A, Q, R)]가 공선점이 아니므로 안 되고 [math( frac{overline{QC}}{overline{AQ}})] 같은 건 된다는 뜻.
2. 한 항의 '끝점'과 다음 항의 '시작점'이 같아야 한다.[3]에서는 [math(A)]가 '시작점'이고 [math(C)]가 '끝점'이다.] 즉 메넬라오스 정리를 이용할 때 한붓그리기처럼 쭉 이어가면서 길이비를 따지듯이 할 수 있어야 한다는 것. 예를 들어 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PB}}{overline{CP}} )] 같은 건 첫 항의 끝점이 [math(B)]인데 다음 항의 시작점이 [math(C)]이므로 안 된다.
3. 첫 항의 '시작점'과 마지막 항의 '끝점'이 같아야 한다. 즉 처음 시작한 곳으로 다시 돌아와야 한다. 예를 들어 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PC}}{overline{BP}}timesfrac{overline{AQ}}{overline{CA}} )] 같은 것은 [math(A)]로 시작해서 [math(Q)]로 끝났으므로 길이비의 곱이 1이 안 된다.
위의 세 조건을 요약하자면, 그냥 평소 메넬라오스 정리를 쓸 때처럼 하되 마지막에 처음 점으로 돌아오기만 하면 길이비의 곱이 1이 된다는 것이다. 즉, [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{CP}}{overline{BC}}timesfrac{overline{RQ}}{overline{PR}}timesfrac{overline{AC}}{overline{QA}}timesfrac{overline{PB}}{overline{CP}}timesfrac{overline{RA}}{overline{BR}} )] 처럼 해도 1이 된다. 심지어 시작점이 [math(R, Q, C)]같은 점이어도 상관 없다!
실제로 메넬라오스 정리의 [math( frac{overline{RB}}{overline{AR}}timesfrac{overline{PC}}{overline{BP}}timesfrac{overline{QA}}{overline{CQ}} )] 는 위 세 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있다.
증명은 각 점에 대해 적절한 함숫값을 주고, 길이비와 그 함숫값의 곱이 불변량임을 보이면 된다. 다만 이 과정에서 상당한 노가다를 필요로 한다.
5. 관련 문서
[1] Menelaus’ theorem 메카토(의) 정리, Mercator projection 메카토 사영, oblique Mercator projection 메카토의 비스듬한 사영도법으로 번역되어있는 것만 봐도, 뒤의 2개는 게라르두스 메르카토르의 이름을 딴 것으로 수학이라기 보다는 지리학 용어로, 메르카토르 도법으로 널리 쓰이니까 논외로 하고, oblique Mercator projection도 지리학계의 표기례에 맞추어야 한다. 앞의 것이 바로 문제가 되는 부분인데 이 정리와 메르카토르, 메카토로 적힐 수 있는 학자는 관계가 없기 때문에, 이것은 명백하게 착오로 잘못 들어간 것이다.[2] 사진 출처: 위키피디아[3] 여기서 '시작점'과 '끝점'을 엄밀히 정의할 수는 있지만 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가기로 한다. [math( frac{overline{QC}}{overline{AQ}})