문서:체바 정리

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1. 개요2. 선에 관한 체바 정리
2.1. 증명
3. 각에 관한 체바 정리
3.1. 증명
4. 기타5. 관련 항목

1. 개요

1678년 이탈리아의 기하학자 조반니 체바(Giovanni Ceva)가 발견한 정리이다. 크게 선에 관한 정리와 각에 관한 정리로 나뉜다.[1]

2. 선에 관한 체바 정리

파일:namu_체바.svg

[math(triangle rm ABC)]에서 [math(overline{rm BC})], [math(overline{rm CA})], [math(overline{rm AB})]의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 [math(rm P)]와 [math(rm A)], [math(rm B)], [math(rm C)]를 이은 직선이 각각 [math(overline{rm BC})], [math(overline{rm CA})], [math(overline{rm AB})]에서 만나는 점을 각각 [math(rm D)], [math(rm E)], [math(rm F)]라 할 때, 다음이 성립한다.

[math(displaystyle frac{overline{rm BD}}{overline{rm DC}}cdotfrac{overline{rm CE}}{overline{rm EA}}cdotfrac{overline{rm AF}}{overline{rm FB}}=1)]

또한, 역으로 [math(triangle rm ABC)]에서 [math(overline{rm BC})] 위에 [math(rm D)], [math(overline{rm CA})] 위에 [math(rm E)], [math(overline{rm AB})] 위에 [math(rm F)]를 잡은 후, 각각 [math(rm A)], [math(rm B)], [math(rm C)]와 이었을때,

[math(displaystyle frac{overline{rm BD}}{overline{rm DC}}cdotfrac{overline{rm CE}}{overline{rm EA}}cdotfrac{overline{rm AF}}{overline{rm FB}}=1)]

이 성립하면 [math(overline{rm AD})], [math(overline{rm BE})], [math(overline{rm CF})]가 한 점 [math(rm P)]에서 만나게 된다.

참고로 말하자면, [math(mathbf P)]가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다. 이 경우, [math(overline{rm AP})], [math(overline{rm BP})], [math(overline{rm CP})]가 각각 [math(overline{rm BC})], [math(overline{rm CA})], [math(overline{rm AB})]의 연장선상에서 만나는 점을 [math(rm D)], [math(rm E)], [math(rm F)]라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[2]
  • [math(overline{rm AP})]가 [math(overline{rm BC})]를 [math(rm C)]쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 [math(rm D)]라고 하면) [math(overline{rm DC})]는 음수로, [math(overline{rm BD})]는 양수로 표시하게 된다.
  • [math(overline{rm AP})]가 선분 [math(overline{rm BC})]와 만난다면 [math(overline{rm BD})], [math(overline{rm DC})] 모두 양수로 측정하게 된다.
  • [math(overline{rm AP})]가 [math(overline{rm BC})]를 [math(rm B)] 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 [math(overline{rm BC})]는 음수, [math(overline{rm DC})]는 양수이다.

2.1. 증명

위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 있다.

[math(displaystyle trianglerm ABC)]에서 [math(displaystyle overline{rm BC})] 위에 [math(displaystyle rm D)], [math(displaystyle overline{rm CA})] 위에 [math(displaystyle rm E)], [math(displaystyle overline{rm AB})] 위에 [math(displaystyle rm F)]를 잡은 후, [math(displaystyle overline{rm AD})], [math(displaystyle overline{rm BE})], [math(displaystyle overline{rm CF})]가 한 점 [math(displaystyle rm P)]에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면,

[math(displaystyle begin{aligned} displaystyle frac{overline{rm BD}}{overline{rm DC}}&=frac{trianglerm ABP}{trianglerm ACP} \frac{overline{rm CE}}{overline{rm EA}}&=frac{trianglerm BCP}{trianglerm BAP} \ frac{overline{rm AF}}{overline{rm FB}}&=frac{trianglerm CAP}{trianglerm CBP} end{aligned})]

이것을 모두 곱하면 1이 된다.

역정리를 보이자.

[math(displaystyle frac{overline{rm BD}}{overline{rm DC}}cdotfrac{overline{rm CE}}{overline{rm EA}}cdotfrac{overline{rm AF}}{overline{rm FB}}=1)]

라 가정하자. [math(displaystyle overline{rm AD})]와 [math(displaystyle overline{rm BE})]의 교점을 [math(displaystyle rm Q)]라고 하고 [math(displaystyle overline{rm CQ})]를 연장시켜 [math(displaystyle overline{rm AB})]와의 교점을 [math(displaystyle rm F')]라고 하자. 그럼 원래 체바의 정리에 의해

[math(displaystyle frac{overline{rm BD}}{overline{rm DC}}cdotfrac{overline{rm CE}}{overline{rm EA}}cdotfrac{overline{rm AF'}}{overline{rm F'B}}=1)]

이 성립하는데,

[math(displaystyle frac{overline{rm BD}}{overline{rm DC}}cdotfrac{overline{rm CE}}{overline{rm EA}}cdotfrac{overline{rm AF}}{overline{rm FB}}=1)]

도 성립하므로 결국

[math(displaystyle frac{overline{rm AF'}}{overline{rm F'B}}=frac{overline{rm AF}}{overline{rm FB}})]

여야 한다. 따라서, [math(displaystyle rm{F})]는 [math(displaystyle rm{F'})]과 같다는 결론을 얻는다.

3. 각에 관한 체바 정리

[math(triangle rm ABC)]에서 [math(overline{rm AD})], [math(overline{rm BE})], [math(overline{rm CF})]가 한 점 [math(rm P)]에서 만날 때 다음이 성립한다. 이 경우 외에도 방향이 고려된 각도를 사용하게 된다.[4] 점 P가 외부에 있어도 성립한다.

[math(displaystyle frac{sinanglerm CAD}{sinanglerm BAD}cdotfrac{sinanglerm BCF}{sinanglerm ACF}cdotfrac{sinanglerm ABE}{sinanglerm CBE}=1)]

이것의 역 또한 성립한다.

3.1. 증명

[math(overline{rm AD})], [math(overline{rm BE})], [math(overline{rm CF})]가 한 점 [math(rm P)]에서 만난다면 [math(trianglerm PAB)], [math(trianglerm PBC)], [math(trianglerm PCA)]에서 사인 법칙을 적용하면

[math(displaystyle begin{aligned} frac{overline{rm PA}}{overline{rm PB}}&=frac{sinanglerm PBA}{sinanglerm PAB}=frac{sinanglerm ABE}{sinanglerm BAD} \ frac{overline{rm PB}}{overline{rm PC}}&=frac{sinanglerm PCB}{sinanglerm PBC}=frac{sinanglerm BCF}{sinanglerm CBE} \ frac{overline{rm PC}}{overline{rm PA}}&=frac{sinanglerm PCA}{sinanglerm PAC}=frac{sinanglerm CAD}{sinanglerm ACF}end{aligned})]

이고, 변변 곱하면 된다.

각에 관한 역정리 증명도 선에 관한 체바 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다.

4. 기타

  • 교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 KMO를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라오스 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구.
  • 이탈리아어에서 유래되었으므로 외래어표기법 상 '체바'로 표기하는 게 옳으며 ‘세바’는 영어권 사람들의 발음법이다. 일본에서는 이를 고려하고 체바 정리로 지은 것. 왜 일본 이야기를 꺼내냐면, 우리나라의 수학 용어 대부분이 일본을 경유하여 들여왔기 때문이다. 대한수학회에서도 '체바 정리'를 밀고 있다.
  • 영어에서는 세바라고 발음한다. 발음 듣기1 발음 듣기2 참고로 교육과정에 들어온다면 '-의 정리'는 채택되지 않을 가능성이 높다. 소유격 조사 '-의'를 모두 빼는 추세이기 때문이다.(그 예로 피타고라스 정리, 아보가드로 법칙, 맥스웰 방정식 등이 있다.)

5. 관련 항목


[1] 따로 각 체바 정리라고도 하나 승인되지 않은 용어이며, 일반적인 선에 관한 체바 정리와 대등한 하위 관계에 있다.[2] 그냥 연장선이 변을 지나치는 경우를 양으로 생각하고, 반대방향을 음으로 생각하면 된다. 이는 아주 자연스러운 일이다. [3] 이에 대해서는 각을 참조하여라.[4] 이에 대해서는 각을 참조하여라.