Lorentz force

전하량을 가진 물체가 전자기장 내에서 받는 힘.

1892년, 로런츠(Hendrik Antoon Lorentz; 1853~1928)가 유도하였다.

전기장 영역에 전하가 있는 입자는 전기력에 의해 힘을 받게 되며, 아래와 같이 주어진다.

여기서 [math( q )]는 전하량, [math( mathbf{E} )]는 전기장이다.


만약, 전하가 연속적으로 분포하는 계가 전기장 영역에 있는 경우에서는 전하밀도(charge density) [math( rho equiv dq/dV )]를 도입하여,

로도 쓸 수 있다.

자기장 영역에 전하가 있는 입자가 운동할 때, 입자는 힘을 받게 되는데, 아래와 같이 주어진다.


여기서 [math( q )]는 전하량, [math( mathbf{v} )]는 입자의 속도, [math( mathbf{B} )]는 자기장이다.


연속적인 전하 분포를 가진 계에서 전하밀도 [math( rho=dq/dV )]와 [math( mathbf{v} )]의 곱 [math( rho mathbf{v} )]은 전류밀도 [math( mathbf{J} )]이므로 로런츠 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.



전류가 흐르는 도선은 곧 전하의 흐름이 지속되는 관이라 볼 수 있고, 이것이 자기장 영역 안에 놓여있다면, 관을 통과하는 전하들은 힘을 받는다. 관을 통과하는 전하는 근사적으로 선형 전류로 취급할 수 있어[1], 일정한 전류 [math( I )]가 흐르는 도선이 받는 힘은


여기서 [math( dmathbf{l} )]은 전류의 미소 변위 벡터이다. 쉽게 말하면 전류가 통과하는 미소 길이를 벡터로 나타냈다고 생각하면 된다.

가장 제한적인 형태로 도선의 길이가 [math( l )]이고, 자기장과 전류가 수직한 방향으로 지난다면, 로런츠 힘의 크기는


로 익숙한 형태가 된다. 방향은 아래를 참고한다.

위에서 논의한 로런츠 힘은 전기장 혹은 자기장이 단일로 존재할 경우이지만, 실제 상황에서는 둘 다 존재할 수 있다. 따라서 일반적으로 로런츠 힘은 전기장 [math( mathbf{E} )]에 의한 가속력 [math( qmathbf{E} )]을 더한 것까지 쳐준다.

또한, 다르게 쓰면,

로 쓸 수 있다. [math( rho,,mathbf{E},,,mathbf{B},,,mathbf{J} )]는 각각 전하 밀도, 전기장, 자기장, 전류 밀도이다.

속도 선택기(Velocity selector)는 일정한 전기장과 자기장을 직교하게 걸어서 전하를 띠는 입자의 속도를 재는 기구이며, 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다.


파일:로런츠 힘_1_수정_1.png

그림과 같이 서로 직교하면서 균일한 전기장 [math( mathbf{E} )]와 자기장 [math( mathbf{B} )]를 걸어준 영역에 수직으로 [math( mathbf{v} )]의 속도로 입사하는 질량과 전하량이 각각 [math( m,,q )]인 입자를 고려하자.[2]

입자는 전하를 띄고, 전기장과 자기장 모두 있는 영역에 입사하므로 아래와 같은 로런츠 힘을 받는다.

그런데, 입자가 등속도 운동했다면, 입자에 가해지는 알짜힘은 [math( 0 )]이 돼야 하므로


을 만족해야 한다. 위 그림에서 두 힘은 작용 방향만 반대인 것을 알 수 있으므로 벡터 대신 스칼라로 적어도 무관하다.


따라서 입자의 속력은


로 정리된다.


위의 논의는 다음을 얻는다.

아래는 속도 선택기를 이용한 실험을 한 동영상이다.

여담으로, 2017학년도 대학수학능력시험 중 "물리 II"과목에서 문제 오류가 발생했던 주제이기도 하다. 자세한 것은 이곳을 참조하기 바란다.

질량 분석기는 일정한 자기장 영역에 전하를 띤 입자를 자기장에 수직으로 입사시켜, 입자의 원운동 반지름으로 입자의 질량을 추적하는 장치이다. 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다.


파일:나무위키_로런츠힘2.png

위 그림과 같이 균일한 자기장 [math( mathbf{B} )]가 형성된 영역에 수직으로 [math( mathbf{v} )]의 속도로 입사된 질량과 전하량이 각각 [math( m,,q )]인 입자를 고려하자.

이때, 입자는 전하를 띄고, 이것이 자기장 영역에 입사됨에 따라 로런츠 힘

를 받는다.

따라서 입자가 받는 힘은 움직이는 방향의 항상 수직이 되므로 입자는 자기장 영역 내에서 반지름 [math( r )]인 원운동하게 된다. 이때, 입자가 받는 구심력은 곧 로런츠 힘이고, 자기장과 속도 벡터가 수직이므로 이것을 스칼라로 써도 무방하므로


를 얻는다.

이상에서 입자의 원운동 반지름은


가 된다.

따라서, [math( B,,q,,v )] 모두 같은 조건에서는 원운동 반지름은 질량에 비례한다는 것을 알 수 있다. 따라서 동위원소의 경우 중성자의 개수만 달라 전하량은 같지만, 질량만 다르게 된다. 따라서 이 질량 분석기를 써써 같은 속도로 자기장 영역에 입사시킨다면, 질량에 따라 다른 반지름을 가지고 원운동하므로 동위원소의 질량을 추적하고, 구분할 수 있다.

또한, 질량 분석기의 경우 아래의 그림과 같이 위 문단에서 논의된 속도 분석기와 같이 해서 쓰는데, 그 이유는 입사 속도를 같게 해줘야 하기 때문이다.

파일:나무위키_로런츠힘3.png

화학에서도 이온의 질량 분석을 위해 이 원리를 사용한다.

해당 링크에서 속도 선택기와 질량 분석기가 붙어있는 경우에 대해 시뮬레이션 할 수 있다.


더 나아가, 같은 조건에서 같은 입자를 다른 속도로 질량 분석기에 입사시킨다면, 그 속도를 알아낼 수 있다. 위에서 구한 식에서 [math( v )]에 대하여 정리해주면,


즉, 원운동 반지름에 비례한다는 것을 알 수 있다.

위와 같은 자기장 영역에 다음의 속도로 입사한 질량과 전하량이 각각 [math( m,,q )]인 입자를 고려하자.


이때, 입자가 받는 로런츠 힘은


따라서, 입자의 질량을 [math( m )]이라 놓으면, 다음이 성립한다.



이상에서 위의 운동 방정식을 풀면, 다음을 얻는다.

초기조건으로 다음을 설정하면[3],


쉽게 상수는 결정됨에 따라

이 된다.


식을 분석해보면, 입자는 [math( xz )]평면에서 반지름 [math( R=mv_{z}/Bq )]로 원운동함과 동시에 [math( y )]축 방향으로는 [math( v_{y} )]의 속력으로 등속 운동한다. 따라서 입자는 나선 궤도를 그리며 운동하게 된다.


아래의 그림은 입자가 그리는 경로를 나타낸 것이다.

파일:namu_로런츠힘_path.png


입자의 속력은 시간에 따라 변하지 않는다. 이것은 로런츠 힘이 입자의 운동 방향에 수직으로 작용한다는 것에서 자기장이 물체에게 하는 일이 없다는 것과 연결된다.


또, 입자의 [math( y )]축 속력이 없이 입사되었다면, 즉, 자기장에 대해 수직이게 [math( v_{z}=v )]의 속력으로 입자가 입사되었다면, 입자는 원운동한다는 것을 알 수 있고, 원운동 반지름 [math( R )]과 진동수 [math( f )]는 다음과 같다.


이 중 반지름은 윗 문단의 질량 분석기에서 논의했던 것과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.

그 외 전자기학의 거의 모든 분야에서 사용되는 힘이라고 할 수 있다.