[include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 '''Lorentz force'''}}} [[전하|전하량]]을 가진 물체가 전자기장 내에서 받는 힘. 1892년, 로런츠(Hendrik Antoon Lorentz; 1853~1928)가 유도하였다. === 전기장 영역에 대한 로런츠 힘 === 전기장 영역에 전하가 있는 입자는 전기력에 의해 힘을 받게 되며, 아래와 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \mathbf{F}=q\mathbf{E})]}}} 여기서 [math( q )]는 전하량, [math( \mathbf{E} )]는 전기장이다. 만약, 전하가 연속적으로 분포하는 계가 전기장 영역에 있는 경우에서는 전하밀도(charge density) [math( \rho \equiv dq/dV )]를 도입하여, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \mathbf{F}= \iiint \rho \mathbf{E} \,dV)]}}} 로도 쓸 수 있다. === 자기장 영역에 대한 로런츠 힘 === 자기장 영역에 전하가 있는 입자가 운동할 때, 입자는 힘을 받게 되는데, 아래와 같이 주어진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \mathbf{F}=q\mathbf{v} \times \mathbf{B} )]}}} 여기서 [math( q )]는 전하량, [math( \mathbf{v} )]는 입자의 속도, [math( \mathbf{B} )]는 자기장이다. 연속적인 전하 분포를 가진 계에서 전하밀도 [math( \rho=dq/dV )]와 [math( \mathbf{v} )]의 곱 [math( \rho \mathbf{v} )]은 전류밀도 [math( \mathbf{J} )]이므로 로런츠 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle \mathbf{F}=\iiint\, (\mathbf{J} \times \mathbf{B})\,dV )]}}} 전류가 흐르는 도선은 곧 전하의 흐름이 지속되는 관이라 볼 수 있고, 이것이 자기장 영역 안에 놓여있다면, 관을 통과하는 전하들은 힘을 받는다. 관을 통과하는 전하는 근사적으로 선형 전류로 취급할 수 있어[* 이것의 증명은 학부 전자기학 수준이므로 증명은 하지 않는다.], 일정한 전류 [math( I )]가 흐르는 도선이 받는 힘은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \mathbf{F}=\iiint\, (\mathbf{J} \times \mathbf{B})\,dV \approx \int\, I\, d\mathbf{l} \times \mathbf{B} )]}}} 여기서 [math( d\mathbf{l} )]은 전류의 미소 변위 벡터이다. 쉽게 말하면 전류가 통과하는 미소 길이를 벡터로 나타냈다고 생각하면 된다. 가장 제한적인 형태로 도선의 길이가 [math( l )]이고, 자기장과 전류가 수직한 방향으로 지난다면, 로런츠 힘의 크기는 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle F=BIl )]}}} 로 익숙한 형태가 된다. 방향은 아래를 참고한다. ||<tablealign=center><bgcolor=#ffffff><table width=300> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [[파일:pic1-1.png|width=100%&align=center]]}}} || === 일반적인 로런츠 힘 === 위에서 논의한 로런츠 힘은 전기장 혹은 자기장이 단일로 존재할 경우이지만, 실제 상황에서는 둘 다 존재할 수 있다. 따라서 일반적으로 로런츠 힘은 전기장 [math( \mathbf{E} )]에 의한 가속력 [math( q\mathbf{E} )]을 더한 것까지 쳐준다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) )]}}} 또한, 다르게 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle \mathbf{F}= \iiint\, (\rho \mathbf{E}+\mathbf{J} \times \mathbf{B})\,dV)]}}} 로 쓸 수 있다. [math( \rho,\,\mathbf{E},\,\,\mathbf{B},\,\,\mathbf{J} )]는 각각 전하 밀도, 전기장, 자기장, 전류 밀도이다. == 대표 예제 == === 속도 선택기 === 속도 선택기(Velocity selector)는 일정한 전기장과 자기장을 직교하게 걸어서 전하를 띠는 입자의 속도를 재는 기구이며, 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다. [[파일:로런츠 힘_1_수정_1.png|width=250&align=center]] 그림과 같이 서로 직교하면서 균일한 전기장 [math( \mathbf{E} )]와 자기장 [math( \mathbf{B} )]를 걸어준 영역에 수직으로 [math( \mathbf{v} )]의 속도로 입사하는 질량과 전하량이 각각 [math( m,\,q )]인 입자를 고려하자.[* 문제를 간단히 하기 위해서 중력은 고려하지 않는다.] 입자는 전하를 띄고, 전기장과 자기장 모두 있는 영역에 입사하므로 아래와 같은 로런츠 힘을 받는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) )]}}} 그런데, 입자가 등속도 운동했다면, 입자에 가해지는 알짜힘은 [math( 0 )]이 돼야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})=0)]}}} 을 만족해야 한다. 위 그림에서 두 힘은 작용 방향만 반대인 것을 알 수 있으므로 벡터 대신 스칼라로 적어도 무관하다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(qvB=qE)]}}} 따라서 입자의 속력은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle v=\frac{E}{B})]}}} 로 정리된다. 위의 논의는 다음을 얻는다. * [math( v={E}/{B} )]를 만족하지 않는다면, 입자는 선택기 내부에서 등속도 운동하지 않는다. 즉, 입자의 운동 경로는 더 이상 직선이 아니고, 휜 경로를 갖는다. * 전기장과 자기장의 세기만 조절하면 원하는 속도를 가진 입자만 골라내거나, 원하는 속도로 입자가 방출되게끔 할 수 있다. 아래는 속도 선택기를 이용한 실험을 한 동영상이다. ||<table align=center><table bgcolor=#ffffff> {{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [youtube(Zad9QemCmBI, start=120)]}}} || 여담으로, 2017학년도 대학수학능력시험 중 "물리 II"과목에서 문제 오류가 발생했던 주제이기도 하다. 자세한 것은 [[2017학년도 대학수학능력시험#s-7.2|이곳]]을 참조하기 바란다. === 질량 분석기 === 질량 분석기는 일정한 자기장 영역에 전하를 띤 입자를 자기장에 수직으로 입사시켜, 입자의 원운동 반지름으로 입자의 질량을 추적하는 장치이다. 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다. [[파일:나무위키_로런츠힘2.png|width=145&align=center]] 위 그림과 같이 균일한 자기장 [math( \mathbf{B} )]가 형성된 영역에 수직으로 [math( \mathbf{v} )]의 속도로 입사된 질량과 전하량이 각각 [math( m,\,q )]인 입자를 고려하자. 이때, 입자는 전하를 띄고, 이것이 자기장 영역에 입사됨에 따라 로런츠 힘 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\mathbf{F}=q\mathbf{v} \times \mathbf{B})]}}} 를 받는다. 따라서 입자가 받는 힘은 움직이는 방향의 항상 수직이 되므로 입자는 자기장 영역 내에서 반지름 [math( r )]인 원운동하게 된다. 이때, 입자가 받는 구심력은 곧 로런츠 힘이고, 자기장과 속도 벡터가 수직이므로 이것을 스칼라로 써도 무방하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle qvB=\frac{mv^{2}}{r})]}}} 를 얻는다. 이상에서 입자의 원운동 반지름은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle r=\frac{mv}{qB})]}}} 가 된다. 따라서, [math( B,\,q,\,v )] 모두 같은 조건에서는 원운동 반지름은 질량에 비례한다는 것을 알 수 있다. 따라서 [[동위원소]]의 경우 중성자의 개수만 달라 전하량은 같지만, 질량만 다르게 된다. 따라서 이 질량 분석기를 써써 같은 속도로 자기장 영역에 입사시킨다면, 질량에 따라 다른 반지름을 가지고 원운동하므로 동위원소의 질량을 추적하고, 구분할 수 있다. 또한, 질량 분석기의 경우 아래의 그림과 같이 위 문단에서 논의된 속도 분석기와 같이 해서 쓰는데, 그 이유는 입사 속도를 같게 해줘야 하기 때문이다. [[파일:나무위키_로런츠힘3.png|width=230&align=center]] 화학에서도 이온의 질량 분석을 위해 이 원리를 사용한다. [[http://yjh-phys.tistory.com/1427?category=523732|해당 링크]]에서 속도 선택기와 질량 분석기가 붙어있는 경우에 대해 시뮬레이션 할 수 있다. 더 나아가, 같은 조건에서 같은 입자를 다른 속도로 질량 분석기에 입사시킨다면, 그 속도를 알아낼 수 있다. 위에서 구한 식에서 [math( v )]에 대하여 정리해주면, {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle v=\frac{qBr}{m}\propto r)]}}} 즉, 원운동 반지름에 비례한다는 것을 알 수 있다. === 자기장 영역에 입사한 대전 입자의 운동 === {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\mathbf{B}=B \hat {\mathbf{y}})]}}} 위와 같은 자기장 영역에 다음의 속도로 입사한 질량과 전하량이 각각 [math( m,\,q )]인 입자를 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\mathbf{v}=\dot{x} \hat {\mathbf{x}}+\dot{y} \hat {\mathbf{y}}+\dot{z} \hat {\mathbf{z}})]}}} 이때, 입자가 받는 로런츠 힘은 {{{#!wiki style="text-align: center" [math( q \mathbf{v} \times \mathbf{B} =q \begin{vmatrix}\,\hat{\mathbf{x}} &\hat{\mathbf{y}} &\hat{\mathbf{z}}\, \\ \,\dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\,\\\,0 & B &0\, \end{vmatrix}=qB(\dot{x}\hat{\mathbf{z}}-\dot{z}\hat{\mathbf{x}}) )]}}} 따라서, 입자의 질량을 [math( m )]이라 놓으면, 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \ddot{x}=-\frac{qB}{m}\dot{z},\,\,\ddot{y}=0,\,\, \ddot{z}=\frac{qB}{m}\dot{x})]}}} 이상에서 위의 운동 방정식을 풀면, 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle x-x_{0}=c_{1}\sin{\frac{qB}{m}t}+c_{2}\cos{\frac{qB}{m}t})][br][br][math(\displaystyle y-y_{0}=c_{3}t)][br][br][math(\displaystyle z-z_{0}=c_{1}\sin{\frac{qB}{m}t}-c_{2}\cos{\frac{qB}{m}t})]}}} 초기조건으로 다음을 설정하면[* 여기서 자기장에 대해 비스듬하게 입사되었음을 알 수 있다.], {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \dot{x}(0)=0,\,\,\dot{y}(0)=v_{y},\,\,\dot{z}(0)=v_{z})]}}} 쉽게 상수는 결정됨에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle x-x_{0}=\frac{mv_{z}}{qB}\cos{\frac{qB}{m}t} )][br][br][math( \displaystyle y-y_{0}=v_{y}t )][br][br][math( \displaystyle z-z_{0}=\frac{mv_{z}}{qB}\sin{\frac{qB}{m}}t )] }}} 이 된다. 식을 분석해보면, 입자는 [math( xz )]평면에서 반지름 [math( R=mv_{z}/Bq )]로 원운동함과 동시에 [math( y )]축 방향으로는 [math( v_{y} )]의 속력으로 등속 운동한다. 따라서 입자는 나선 궤도를 그리며 운동하게 된다. 아래의 그림은 입자가 그리는 경로를 나타낸 것이다. [[파일:namu_로런츠힘_path.png|width=140&align=center]] 입자의 속력은 시간에 따라 변하지 않는다. 이것은 로런츠 힘이 입자의 운동 방향에 수직으로 작용한다는 것에서 자기장이 물체에게 하는 일이 없다는 것과 연결된다. 또, 입자의 [math( y )]축 속력이 없이 입사되었다면, 즉, 자기장에 대해 수직이게 [math( v_{z}=v )]의 속력으로 입자가 입사되었다면, 입자는 원운동한다는 것을 알 수 있고, 원운동 반지름 [math( R )]과 진동수 [math( f )]는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [math( \displaystyle R=\frac{mv}{qB}\qquad \qquad f=\frac{1}{2\pi}\frac{qB}{m} )]}}} 이 중 반지름은 윗 문단의 질량 분석기에서 논의했던 것과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다. == 응용 == * '''[[레일건]]''': 해당 문서에서는 도체 탄자를 이용한 경우를 다루었는데, 소형 레일건 (일명 사제 레일건) 등이나, 어떤 종류의 레일건은 중간의 연결 도선을 높은 전류로 순간적으로 증발시키면서 비금속 탄자를 가속시킨다고 한다. * '''[[홀 효과]]''': [[반도체]]에서 응용되고 있는 현상이며, [[전자]]가 전하 운반체임을 증명한 실험이다. 전류가 흐르는 도선에 자기장을 수직으로 건다. 이 때 로런츠 힘에 의해, 전하 운반체를 [[전자]]로 가정할 때와 전하 운반체를 [[양성자]](원자핵)으로 가정할 때의 힘의 방향이 결국 같아진다. 그런데 전위차는 한 방향으로만 생긴다. 이 전위차에 의해 [[전자]]가 전하 운반체임을 증명할 수 있다. 자기 항아리 에서도 이 원리가 쓰인다. [[KSTAR]] 와 같은 [[플라즈마]]를 가두는 장치에서 반드시 필요한 개념이다. 이 경우, [[적절한]] 세기의 강한 자기장을 걸면 어떤 입자건 무조건 특정 궤도로부터 일정 거리 이상 떨어지지 않도록 할 수 있다는 원리가 이용된다. 로런츠 힘 중 자기장에 의한 성분이 운동 방향에 수직임을 이용한 것이다. * '''[[입자가속기]], [[LHC]]''' 그 외 [[전자기학]]의 거의 모든 분야에서 사용되는 힘이라고 할 수 있다. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[전자기력]] * [[전기장]] * [[자기장]] * [[전류]] [각주] [include(틀:문서 가져옴, title=자기장, version=322)] [[분류:전자기학]][[분류:물리학]]