||<bgcolor=#fff><tablebordercolor=#00a495>{{{-1 [[2015 개정 교육과정]]에서는 '''질량-에너지 등가원리'''로 개칭되었다.}}}|| [include(틀:상대성 이론)] [목차] == 개요 == [math(E=mc^2)] 특수상대론에서 도출되는 원리 중 하나. 많은 사람들에게 저 식으로 많이 알려져 있다. __'''질량을 에너지로 바꿀 수 있다'''__[* 대표적으로 [[핵분열]], [[핵융합]], 물질과 [[반물질]] 간의 쌍소멸, 쌍생성]로 이야기할 수 있다. 많은 사람들이 일반 상대성 이론의 질량-에너지 등가 원리를 '질량을 광속으로 가속하면 에너지로 바뀐다'라고 생각하지만, 등가 원리의 정확한 뜻은 질량과 에너지는 똑같은 본질의 다른 형태라는 것뿐이다. 질량과 에너지가 전환하는 예로는 핵융합, 핵분열 과정에서 에너지가 출입하는 것을 들 수 있다. 이 때문에 핵 발전은 적은 질량의 연료로도 많은 에너지를 방출할 수 있다. 이를 당연한 상식으로 여기는 핵물리에서는 에너지와 질량의 단위를 '''구분하지 않는다.''' 특수상대성이론에서 가정하고 있는 광속 c는 299,792,458m/s니까 1 g의 질량이 완전히 에너지로 전환될 경우 89,875,517,873,681'''.'''764 J(89'''조'''; 반올림하여 약 90 TJ([[테라]]줄))이라는 말도 안 되는 에너지가 방출되게 된다. 즉 "1 g의 질량"과 "89,875,517,873,681'''.'''764 J의 에너지"는 같은 대상을 서로 다르게 표현한 것이라 할 수 있다. 이 에너지는 0 ℃물 약 22만 톤을 100 ℃까지 가열시킬 수 있는 에너지다. 22만 톤이면 대략 한변의 길이가 약 60 m인 정육면체에 담긴 물의 무게와 같다 (1톤=1 m^^3^^의 물). 더 와닿는 표현으로는, 한 달에 208kWh의 전력을 쓰는 10,000가구가 1년 동안 소비하는 전기 에너지의 양이다. 세세하게 따지면 [math(E=mc^2)]는 정지해 있는 물체 또는 빛보다 훨씬 느린 물체에게만 적용되는 공식으로, 확장한 버전이 2개 있다. [math(E^2=(mc^2)^2+(pc)^2)] [math(E=\gamma mc^2)] == 도출 과정 == === 로런츠 불변성 === 위 상대론적 역학 링크에서는 로런츠 불변성과 연관지어 설명되어 있다. 상대론적 운동량과 에너지는 다음과 같이 써진다. [math(p=\gamma mv,\ E=\gamma mc^2)] ([math(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2} } }))] 그런데, [[테일러 전개]]라는 [[미적분학]]의 매우 간단한 기술을 사용하면 상대론적 에너지를 아래와 같이 쓸 수 있다.[* 상대성 이론의 전제와 식으로부터, 실제 존재하는 물질이든 [[타키온]]과 같은 가상의 물질이든 광속이 '''아닌''' 물체를 광속으로 만드는 것은 불가능하다. 질량에 상관없이 광속으로 가속(타키온일 경우 감속)하는 데 필요한 에너지는 무한히 크기 때문이다.] [math(\begin {aligned} E & = \gamma mc^2 \\ & =mc^2+(\gamma -1) mc^2 \\ & = mc^2 + mc^2 \cdot \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \, \cdots \, \cdot (2n-1)}{2^n \cdot n!} \left ( \frac{v^2 }{c^2} \right ) ^k \\ & = {\color{green} mc^2} + {\color{purple} \dfrac{1}{2} mv^2} + \dfrac{3}{8} m \dfrac{v^4}{c^2} + \cdot \cdot \cdot \\ & \approx {\color {green} mc^2}+{\color {purple}\dfrac{1}{2} mv^2}\end {aligned})](근사 식은 충분히 작은 속력) {{{#purple 두 번째 항}}}은 고전물리학에서 나타난 운동에너지이다. 위 상대론적 에너지는 느린 속력에서 고전물리학을 근사적으로 쓸 수 있음을 말한다. {{{#green 첫 번째 항}}}은 속력이 0일 때 나오는 항이다. 속력이 0일 때 운동에너지도 0이어야 한다. 이 항이 바로 '''질량 자체가 가진 에너지'''이다. ==== 관련 문서 ==== * [[상대론적 역학]] === 가상 실험 === 그런데 이 로런츠 불변성을 이용한 설명 외에 다른 방법이 있다. [[시간 지연]], [[길이 수축]]에서 '''달리는 열차''' 모형을 도입하여 도출하는 방법이 나와 있다. 이와 비슷하게, 질량과 에너지의 정량적 관계를 계산하는 모형을 세울 수 있다. [[http://www.adamauton.com/warp/emc2.html|출처]] [[파일:E=mc^2 모형.png]] * (1) 위 그림에서 상자의 왼쪽 벽에서 질량([math(m)]) 결손[* [[핵분열]], [[핵융합]], 입자-반입자 충돌 등]으로 에너지가 발생한다. * 그 에너지가 전부 빛의 형태로 나온다고 가정한다. 빛을 가정하는 것은 운동량과 에너지의 관계식이 명확히 주어져 있기 때문이다. [math(E=pc)] * 빛의 일부는 벽에 반사하면서 상자에게 왼쪽으로 운동량 [math(p)]를 가한다. * 이때 '''상자의 질량 [math(M)]은 충분히 크다'''고 가정한다. 질량을 크게 잡음으로써 충분히 느린 속도 [math(v)]에서 고전적인 운동량의 식 [math(p=Mv)]를 쓸 수 있도록 한다. 또한 상자로 전달되는 에너지도 작아져서 빛의 에너지 손실도 충분히 줄일 수 있다.[* [math(K=\frac{p^2}{2m})]에서 알 수 있듯이, 같은 운동량이라 해도 운동에너지는 질량이 클수록 작아진다.] * (2) 빛이 반대편 벽으로 움직인다. 이때 빛이 [math(X)]를 움직이는 사이 상자는 반대쪽으로 [math(\Delta x)]만큼 움직인다고 잡는다. * (3) 빛이 모여서 에너지가 다시 질량 형태로 생겨나고 상자는 다시 멈춘다. 외부로 나오는 에너지 손실은 없다고 가정한다. 이 상황에서 운동량과 소요시간 관계식을 세울 수 있다. [math(E=pc=Mcv)] [math(\displaystyle \Delta t={X\over c}={\Delta x \over v})] 또한 계에서의 운동량 총합은 0으로 일정하다. 처음과 끝에서 상자와 입자가 모두 정지해 있기 때문이다. 따라서 [[질량중심]]의 위치는 변하지 않는다.([math(x_1,\ x_2)]는 상자의 질량중심과 입자의 처음 위치) [math(\displaystyle \frac{Mx_1+mx_2}{M+m}=\frac{M(x_1-\Delta x)+m(x_2+X)}{M+m})] 이 식을 이항하면 [math(M\Delta x=mX)]가 되고, 여기에 두 번째 식을 대입하면 [math(Mv=mc)]가 된다. 양변에 {[math(c)]를 곱하고 첫 번째 식을 대입하면 [math(E=mc^2)]을 이끌어낼 수 있다. === 아인슈타인의 방법 === 이 방법은 '기적의 해'라 불리는 1905년에 아인슈타인이 낸 4번째 논문 "물체의 관성은 내부 에너지에 의존하는가?" (원문: "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?")에 나오는 유도 방법이다. [[상대론적 도플러 효과]]에 의하면 빛의 파장은 관측자에 따라 다르다. [math(f'=f \frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}=f \frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}})] 빛의 에너지는 파장에 비례하므로 [math(E'=E \frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}})] 여기서 ''v''는 물체들이 서로 다가갈시 양수이고, 멀어질 시 음수이다. 이제 원점에 어떤 물체가 정지해있고, [math(E_0)]만큼의 에너지를 가지고 있다고 하자. 당신은 이 물체를 향해서 v 만큼의 속력으로 달린다. 당신의 관점에서 이 물체의 에너지는 [math(H_0)]라 하자. 잠시 후, 이 물체는 두 방향으로 똑같은 에너지를 가진 광자를 하나씩 방출한다. 하나는 당신이 달려오는 방향으로, 하나는 반대 방향으로. 광자 하나의 에너지를 [math(\frac{E}{2})]라 하자. 양쪽으로 똑같은 광자를 방사했으므로, 이 물체가 보기에는 자신은 여전히 정지해있으며, 느낀 총 가속도는 0이다. 정지해 있는 관점에서 본, 방출 후 물체의 에너지는 [math(E_1=E_0-\frac{E}{2}-\frac{E}{2}=E_0-E)] 반면, 당신이 보기에는 이야기가 살짝 다르다. 도플러 효과 때문에 당신에게 쏘인 광자와 반대 방향으로 쏘아진 광자는 에너지가 다르다. 그러므로 당신이 보기에 광자 2개를 잃은 물체가 가진 에너지는 [math(H_1=H_0-\frac{E}{2}\frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-\frac{E}{2}\frac{1-v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=H_0-\frac{E}{\sqrt{1-v^2/c^2}})] 광자 방출 전에 물체가 가진 운동 에너지를 [math(K_0)], 방출 후의 운동 에너지를 [math(K_1)]라 하면, [math(K_0=H_0-E_0)] [math(K_1=H_1-E_1)] 우리가 흥미를 가지고 있는 값은 [math(K_0-K_1)]다. 즉, 빛을 방출하므로써 물체가 잃은 운동 에너지. [math(K_0-K_1=(H_0-E_0)-(H_1-E_1)=(H_0-E_0)-(H_0-\frac{E}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-E_0+E))] [math(K_0-K_1=E(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1))] 우변을 (중심을 v=0로 잡고) [[테일러 급수]]로 전개하면 [math(K_0-K_1=E((1+\frac{v^2}{2c^2}+...)-1) \approx \frac{1}{2}\frac{E}{c^2}v^2)] 여기서 잠깐 생각을 해보자. 물체의 관점에서 물체는 전혀 외력을 느끼지 못했고, 속도도 변하지 않았다. 따라서 달리고 있는 당신이 보기에도 물체의 속력은 변하지 않았다. 하지만 운동 에너지는 변했다. 운동 에너지는 [math(\frac{1}{2}mv^2)]인데, [math(v)]가 같다면 달라진건 [math(m)], 즉 질량이다. 물체가 잃은 이 질량을 [math(\Delta m)]이라고 하자. [math(K_0-K_1=\frac{1}{2}\Delta m v^2= \frac{1}{2}\frac{E}{c^2}v^2)] [math(\Delta m = \frac{E}{c^2})] [math(E=c^2\Delta m)] 즉, 물체가 잃은 질량의 양을 그냥 [math(m)]이라 하면, [math(E=mc^2)] == 기타 == * 사실 [math(E=mc^2)]의 옳고 그름은 실험 결과 때문에 논란이 없지만, 아인슈타인의 유도들은 논란이 있다. 이 문서에도 서술된 1905년의 유도 방법은 순환 논법을 사용했다든지[* 하지만 결국 이 순환 논법 의심은 부정된 듯], "원초적 원리" (first principles)에 의지하지 않고 제대로 검증/증명되지 않은 식들을 썼다든지, 근사값을 너무 많이 썼다든지 [* 테일러 급수 사용, 상대성 이론인데 고전적 운동 에너지인 1/2mv^2 사용] 등등 꽤 시끄러웠다. 그래서인지 아인슈타인은 죽을 때까지 [math(E=mc^2)]를 엄밀히 증명하지 못했다고 생각하는 학자들도 꽤 있으며, 더 나아가 특수 상대성 이론 자체가 [math(E=mc^2)]를 증명하기에는 부족하다는 의견도 있다. * [[아인슈타인]]이 직접 설명하는 [math(E=mc^2)] [youtube(drzw_Z6ltn0)] [include(틀:문서 가져옴, title=상대성 이론/심화, version=21)] [[분류:특수 상대성 이론]]