[include(틀:특수함수의 목록)] [목차] == 개요 == '''에르미트 함수(Hermite function)''' 혹은 '''에르미트 다항식(Hermite polynomial)'''은 아래의 에르미트의 미분 방정식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x \frac{dy}{dx}+2n y=0 )] }}} 을 만족시키는 함수를 말한다. 함수의 이름은 프랑스의 수학자 에르미트(Charles Hermite; 1822 - 1901)의 이름이 붙여졌다. 단, 에르미트 함수에는 두 가지 버전이 있는데 하나는 물리학에서 사용되는 것이고, 다른 하나는 통계학에서 사용되는 것인데, 이 문서에서는 물리학에서 사용되는 에르미트 함수을 다룬다. 통계학에서 다루는 에르미트 함수에 대한 내용은 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials|이곳(영어)]]을 참조한다. == 상세 == 해당 미분 방정식은 급수해 해법으로 풀 수 있으며, 위 방정식의 해를 다음의 꼴로 가정하는 것 부터 시작한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m} )] }}} 이것을 위 방정식에 대입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_{m}x^{m-2}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \\ \sum_{m=0}^{\infty} (m+1)(m+2)a_{m+2}x^{m}-2\sum_{m=1}^{\infty}m a_{m} x^{m}+2n \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m}&=0 \end{aligned})] }}} 로 바꿀 수 있고, 각 항의 계수를 비교함으로써 계수에 대한 점화식 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{m+2}=-\frac{2(n-m)}{(m+2)(m+1)}a_{m} )] }}} 따라서 위 방정식의 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y=A_{1}y_{0}+A_{2}y_{1} )] }}} 으로 쓸 수 있으며, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} y_{0}& \equiv a_{0} \left[1-\frac{2n}{2!}x^{2}+\frac{4n(n-2)}{4!}x^{4}-\frac{8n(n-2)(n-4)}{6!}x^{6}+ \cdots \right] \\ y_{1}& \equiv a_{1} \left[x-\frac{2(n-1)}{3!}x^{3}+\frac{4(n-1)(n-3)}{5!}x^{5}-\frac{8(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^{7}+ \cdots \right] \end{aligned})] }}} 이다. 이때, [math(n)]이 [[자연수#s-2.1.1|0을 포함한 자연수]]라면, [math(y_{0})] 혹은 [math(y_{1})]은 [[다항함수]] 꼴로 남게 되는데 해당 다항함수에 상수를 붙인 다항식을 '''에르미트 함수'''이라 하고, 기호로 [math(H_{n}(x))]로 나타낸다. == 분석 == === 종류 === 다음은 몇몇 에르미트 함수의 목록을 나타낸 것이다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} H_0(x) &= 1 \\ H_1(x) &= 2x \\ H_2(x) &= 4x^2 - 2 \\ H_3(x) &= 8x^3 - 12x \\ H_4(x) &= 16x^4 - 48x^2 + 12 \\ H_5(x) &= 32x^5 - 160x^3 + 120x \\ H_6(x) &= 64x^6 - 480x^4 + 720x^2 - 120 \\ H_7(x) &= 128x^7 - 1344x^5 + 3360x^3 - 1680x \\ H_8(x) &= 256x^8 - 3584x^6 + 13440x^4 - 13440x^2 + 1680 \\ H_9(x) &= 512x^9 - 9216x^7 + 48384x^5 - 80640x^3 + 30240x \\ H_{10}(x) &= 1024x^{10} - 23040x^8 + 161280x^6 - 403200x^4 + 302400x^2 - 30240 \end{aligned} )] }}} === 그래프 === 아래의 그래프는 [math([-2,\,2])] 구간에서 몇몇 에르미트 함수의 그래프를 나타낸 것이다. [[파일:Plot of Hermite Function_NEW_NEW.png|width=430&align=center]] 위 그래프에서 볼 수 있듯, 홀수차항의 에르미트 함수는 항상 원점을 지나며, 짝수차항의 에르미트 함수는 [math(x=0)] 위의 미분 계수는 0이 된다. [math(y)]축 위의 함숫값은 아래와 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle H_{n}(0)=\begin{cases} 0 & \text{ for odd } n \\ (-2)^{n/2}(n-1)!! & \text{ for even } n \end{cases} )] }}} === 생성 함수 === 에르미트 함수의 생성 함수는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n} )] }}} === 로드리게스 공식 === 에르미트 함수는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} )] }}} 의 형태로 쓸 수 있는데, 이것을 에르미트 함수에 대한 '''로드게리스 공식(Rodrigues' formula)'''라 한다. [math(\displaystyle y=e^{-x^{2}} )]에서 양변을 미분하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y'=-2x e^{-x^{2}}=-2xy \;\to \;y'+2xy=0 )] }}} 으로 쓸 수 있다. 이것을 다시 미분하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y''+2y+2xy'=0 )] }}} 이것을 [math(x)]에 대하여 [math(n)]번 미분하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y^{(n+2)}+y^{(n+1)}+2\sum_{k=0} \binom{n}{k} x^{(k)}y^{(n-k+1)}=0 )] }}} 이때, [math(f^{(k)}=d^{k}f/dx^{k})], [[조합|[math( \binom{n}{k}={}_{n}\mathrm{C}_{k})]]]임을 참고하고, 이 결과는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y^{(n+1)}+2xy^{(n+1)}+2(n+1) y^{(n)}=0 )] }}} 이때, [math(y^{(n)} \equiv u)]이라 놓으면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{d^{2}u}{dx^{2}}+2x \frac{du}{dx}+2(n+1)u=0 )] }}} 함수 [math(\displaystyle u(x)=(-1)^{n} e^{-x^{2}}f(x) )]를 고려하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{du}{dx}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left( -2xf+ \frac{df}{dx} \right) \\ \frac{d^{2}u}{dx^{2}}&=(-1)^{n} e^{-x^{2}} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{df}{dx}+\frac{d^{2}f}{dx^{2}} \right] \end{aligned} )] }}} 임을 고려하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \left[ (4x^2-2)f-4x \frac{df}{dx}+\frac{d^{2}f}{dx^{2}} \right]+2x \left( -2xf+ \frac{df}{dx} \right)+2(n+1) f&=0 \\ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}-2x\frac{df}{dx}+2nf&=0 \end{aligned} )] }}} 으로 정리되고, 이것은 명백한 에르미트의 미분 방정식이다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n} e^{-x^{2}}H_{n}(x) \; \to \; H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} )] }}} 으로 쓸 수 있다. 다만, 다른 특수 함수와 같이 상수를 고려하는 과정은 거치지 않았는데, 그 이유는 에르미트 함수의 로드리게스 공식의 상수는 1이기 때문이다. === 재귀 관계 === 에르미트 함수의 재귀 관계는 아래와 같다. i. [math(\dfrac{dH_{n}(x)}{dx}=2nH_{n-1}(x))] i. [math(H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x))] === 직교성 === 에르미트 함수는 가중함수 [math(e^{-x^{2}})]에 대하여 실수 전체 구간에 대해 다음의 직교성을 가진다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx=2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} )] }}} 여기서 [math(\delta_{nm})]은 [[크로네커 델타]]이다. 이것을 증명하기 위해 [math(n \neq m)]일 때를 우선적으로 증명하자. [math(H_{n}(x))], [math(H_{m}(x))]이 각각 만족하는 미분 방정식에 각각 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))], [math(e^{-x^{2}}H_{n}(x))]을 곱한 뒤 빼면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle e^{-x^{2}}H_{m}(x)\left[ \frac{d^{2}H_{n}(x)}{dx^{2}}-2x \frac{dH_{n}}{dx} \right]-e^{-x^{2}}H_{n}(x)\left[ \frac{d^{2}H_{m}(x)}{dx^{2}}-2x \frac{dH_{m}}{dx} \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )] }}} 이것은 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{d}{dx}\left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{dH_{m}(x)}{dx} \right) \right]+2(n-m)e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)=0 )] }}} 양변을 실수 전체에 대해 적분하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \left[ e^{-x^{2}} \left(\frac{dH_{n}(x)}{dx}H_{m}(x)-H_{n}(x) \frac{dH_{m}(x)}{dx} \right) \right]_{-\infty}^{\infty}+2(n-m) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx=0 )] }}} 이때, [math(x \to \infty)], [math(x \to -\infty)]에서 [math(e^{-x^{2}} \to 0)]임을 상기하면, 좌변의 제 1항은 0이 되고, [math(n \neq m)]임을 상기하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx =0 \quad (n \neq m) )] }}} 임을 얻을 수 있다. [math(n=m)]일 때를 증명하자. 적분 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,dx \equiv C_{n} )] }}} 이라 놓자. 재귀 관계를 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} C_{n}&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)[2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) ]\,dx \\&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\cdot 2xH_{n}(x) H_{n-1}(x)\,dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n+1}(x)+2nH_{n-1}(x) ] H_{n}(x) H_{n-1}(x)\,dx \\ &=2n \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} [H_{n-1}(x) ]^{2}\,dx \\ &=2nC_{n-1}\end{aligned} )] }}} 이에 [math(\displaystyle C_{n+1}=2(n+1)C_{n} \; \to \; C_{n}=2^{n}n! C_{0} )]을 얻고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle C_{0}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi} )] }}} 로 [[가우스 적분]] 문서의 결과를 참고하여 적을 수 있으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} [H_{n}(x) ]^{2}\,dx=2^{n} n! \sqrt{\pi} \quad (n=m) )] }}} 의 결과를 얻는다. ==== 푸리에-에르미트 급수 ==== [[푸리에 급수]]로 주기 [math([0,\,L])]인 함수 [math(f(x))]를 해당 구간에서 직교하는 삼각함수를 이용하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \sin{\frac{n\pi x}{L}}+b_{n} \cos{\frac{n \pi x}{L}} )] }}} 로 전개할 수 있었으며, 각 계수는 이들의 함수의 직교성으로 구할 수 있었다. 마찬가지로 실수 전체에서 정의된 함수 [math(f(x))]에 대하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}H_{n}(x) )] }}} 으로 전개할 수 있는데 이것을 '''푸리에-에르미트 급수(Fourier-Hermite series)''''라 한다. 각 계수를 구하기 위해 [math(e^{-x^{2}}H_{m}(x))]를 곱한 뒤 실수 전체에 대해 적분하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,dx= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x)H_{m}(x)\,dx )] }}} 에르미트 함수의 직교성에 따라 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{m}(x)\,dx&= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n} n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} \\ &=2^{n} n! \sqrt{\pi} a_{m} \end{aligned} )] }}} 이에 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2^{n} n! \sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}f(x)H_{n}(x)\,dx )] }}} == 활용 == === 물리학적 활용 === ==== [[양자 조화 진동자]] ==== [include(틀:상세 내용, 문서명=양자 조화 진동자)] == 관련 문서 == * [[수학 관련 정보]] * [[물리학 관련 정보]] * [[특수함수]] * [[르장드르 함수]] * [[베셀 함수]] * [[라게르 함수]] * [[양자 조화 진동자]] [[분류:수학]]