[include(틀:상위 문서, top1=부분적분)] [include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == [[부분적분]]을 할 때 쓰이는 방법론 중 하나로, 브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 '''LIATE 법칙'''을 설명한다. == 상세 == ||<colbgcolor=#f2f2f2,#191919><table align=center><tablebgcolor=#ffffff,#000000> '''L''' ||'''L'''ogarithmic functions ([[로그함수]]) ||[math(\ln{x})], [math(\log_{a}{x})] 등[* 특히 로그함수가 역수 꼴로 들어오면 [[로그 적분 함수|매우 난해해진다]]. ([math(\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x = \mathrm{li}(x) + \mathsf{const.})])] || || '''I''' ||'''I'''nverse trigonometric functions ([[역삼각함수]]) ||[math(\sin^{-1}{x})], [math(\tan^{-1}{x})] 등 || || '''A''' ||'''A'''lgebraic functions ([[대수함수|대수적 함수]]) ||[math(x^{2})], [math(3x^{4})] 등 || || '''T''' ||'''T'''rigonometric functions ([[삼각함수]]) ||[math(\sin{x})], [math(\tan{x})] 등 || || '''E''' ||'''E'''xponential functions ([[지수함수]]) ||[math(e^{x})], [math(\sinh x)][* [[쌍곡선 함수]]는 지수함수의 일종이다.][* [math(\cosh x = \dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x}), \sinh x = \dfrac{1}{2} (e^x-e^{-x}))]] 등 || 표의 위쪽(LIATE 기준 왼쪽)으로 갈수록 '''[[미분]] 우선'''이고, 표의 아래쪽(LIATE 기준 오른쪽)으로 갈수록 '''[[적분]] 우선'''이다. 이러한 우선순위가 존재하는 까닭은 로그함수로 갈 수록 적분이 까다로워지기 때문이다. 다만, 로그함수와 역삼각함수의 경우에는 우선순위가 유동적인 경우가 많아 LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절할 수도 있다. === 로다삼지 === 한국의 교등학교 교육과정에서는 역삼각함수를 배우지 않고, 대수적 함수라는 표현 대신 [[다항함수]][* 다만, 대수적 함수와 다항함수는 완전히 같지 않다. 왜냐하면 다항함수 외에도 [[유리함수|분수함수]]나 [[무리함수]]도 모두 대수적 함수이기 때문이다. 다만 적분 연산에서는 x^^r^^(r은 실수)꼴로 표현되는 모든 함수인 대수적 함수를 다항함수와 동치라고 퉁치기도 한다. r=-1일 경우 [[자연로그|패턴이 달라지긴 하지만]].]라는 표현을 쓰기 때문에 이 순서를 'LATE 법칙'이라고 하며, '로다삼지'라는 순서로도 흔히 외운다. == LIATE 법칙이 적용되지 않는 경우 == 다만 때에 따라서는 적분 우선이라는 삼각함수, 지수함수 적분이 단순 로그함수 적분보다 훨씬 어려워지기도 한다. [[특수함수]]가 나오면 다행이고[* 오히려 특수함수를 알고 있으면 그대로 LIATE 법칙을 써도 무방하다.], 아예 대응 특수함수조차 없는 상황도 꽤 잦다. 이런 내막을 모른 채 로다삼지를 과신하면 계산이 [[안드로메다]]로 간다(...). 대응 [[특수함수]] 적분식이 없는 함수는 울며 겨자먹기로 (대학교 [[미적분학]] 과정에서) [[테일러 급수|테일러 전개]] 혹은 [[중적분]]의 극좌표 변환([[가우스 적분]])을 활용하여 적분하거나, ([[공업수학]]에서) [[라플라스 변환]]/[[푸리에 변환]][* 파서벌 정리(Parseval's theorem)를 이용하여 [math(\dfrac {\sin^4x}{x^4})] 등을 적분하라는 문제가 나올 수 있다.]으로 돌아서 가는 방법을 사용해야 한다. === 삼각함수 === * [math(\displaystyle \int \sin x^2\, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.})] - [[프레넬 적분 함수|프레넬 사인 적분 함수]]를 사용해야 한다.[* [math(\displaystyle S(x)= \int_{0}^{x} \sin {\pi t^2 \over 2} \, \mathrm{d}t)]라 정의한 경우 [math(\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, S \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.})]가 된다.] * [math(\displaystyle \int \cos x^2\, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.})] - [[프레넬 적분 함수|프레넬 코사인 적분 함수]]를 사용해야 한다.[* 마찬가지로 [math(\displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos {\pi t^2 \over 2}\, \mathrm{d}t)]라 정의한 경우 [math(\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, C \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.})]가 된다.] * [math(\displaystyle \int \sin(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - [[삼각 적분 함수|코사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \cos(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - [[삼각 적분 함수|사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \sin |x| \, \mathrm{d}x = (1- \cos x) \ \mathrm{sgn}(x)+1 + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \tan |x| \, \mathrm{d}x = - \ln \circ \cos (x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \csc |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \tan \left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \cot |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \sin(x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \left|\sin x \right| \mathrm{d}x = - \mathrm{sgn} \circ \sin(x) \cos x+ \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \left|\cos x \right| \mathrm{d}x = \mathrm{sgn} \circ \cos(x) \sin x+ \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn} \circ \tan(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.})] - [[부호 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x \tan x \, \mathrm{d}x = \frac{i}{2}(\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x(x+2i \ln(1+e^{2ix})))+ \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x \csc x \, \mathrm{d}x = -2 i \mathrm{Li}_2(e^{i x}) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2(e^{2 i x}) - 2 x \tanh^{-1} e^{i x} + \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]와 [[쌍곡선함수#s-2.3|역쌍곡선 탄젠트]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x \sec x \, \mathrm{d}x = -i (\mathrm{Li}_2(i e^{i x}) - \mathrm{Li}_2(\sin x -i \cos x) + 2 x \tan^{-1}e^{i x}) + \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]와 [[역삼각함수|역탄젠트]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x \cot x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}(-i \mathrm{Li}_2(-e^{2ix})-ix^2+2x \ln(1-e^{2ix}))+ \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.})] - [[삼각 적분 함수|사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \frac{\cos x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.})] - [[삼각 적분 함수|코사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \frac{\tan x}{x} \, \mathrm{d}x)] - '''대응하는 적분식 자체가 없다.''' * [math(\displaystyle \int \frac{\csc x}{x} \, \mathrm{d}x)] - '''대응하는 적분식 자체가 없다.''' * [math(\displaystyle \int \frac{\sec x}{x} \, \mathrm{d}x)] - '''대응하는 적분식 자체가 없다.''' * [math(\displaystyle \int \frac{\cot x}{x} \, \mathrm{d}x)] - '''대응하는 적분식 자체가 없다.''' === 지수함수 === * [math(\displaystyle \int e^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + \mathsf{const.})] - [[오차함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \frac{e^x}{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ei}(x) + \mathsf{const.})] - [[지수 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int e^{\frac{1}{x}} \mathrm{d}x = xe^{\frac{1}{x}} + \mathrm{Ei}\left(\frac{1}{x}\right) + \mathsf{const.})] - [[지수 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x^{x} \mathrm{d}x)] - '''[[2학년의 꿈|대응하는 적분식 자체가 없다.]]''' ==== [[쌍곡선 함수]] ==== * [math(\displaystyle \int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x = i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)} + \mathsf{const.})] - [[폴리로그함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(x) + \mathsf{const.})] - [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡 사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(x) + \mathsf{const.})] - [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡 코사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(e^x) + \mathsf{const.})] - [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡 사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(e^x) + \mathsf{const.})] - [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡 코사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡 코사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + \mathsf{const.})] - [[쌍곡선 적분 함수|쌍곡 사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \sinh x^2\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.})] - [[오차함수]], [[오차함수#s-2.3|복소오차함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.})] - [[오차함수]], [[오차함수#s-2.3|복소오차함수]]를 사용해야 한다. === 삼각함수 + 지수함수 합성 === * [math(\displaystyle \int \sin e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.})] - [[삼각 적분 함수|사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int \cos e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.})] - [[삼각 적분 함수|코사인 적분 함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int e^{\sin x} \mathrm{d}x)] - '''대응하는 적분식 자체가 없다.''' * [math(\displaystyle \int e^{\cos x} \mathrm{d}x)] - '''대응하는 적분식 자체가 없다.''' * [math(\displaystyle \int e^x \tan x \, \mathrm{d}x = ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) + \mathsf{const.})] - [[초기하함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int e^x \csc x \, \mathrm{d}x = -(1 + i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; e^{2 i x}) + \mathsf{const.})] - [[초기하함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int e^x \sec x \, \mathrm{d}x = (1 - i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; -e^{2 i x}) + \mathsf{const.})] - [[초기하함수]]를 사용해야 한다. * [math(\displaystyle \int e^x \cot x \, \mathrm{d}x = -ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) + \mathsf{const.})] - [[초기하함수]]를 사용해야 한다. == [[특수함수]]의 경우 == 수준이 올라가면 [[쌍곡선 적분 함수]]나 [[람베르트 W 함수]], [[브링 근호]] 등 [[특수함수]]를 적분하거나 특수함수와의 곱으로 이루어진 함수를 적분하는 일도 나오는데, 초등함수의 적분 또는 미분방정식의 해로 정의된 특수함수의 경우 '''로그함수/역삼각함수보다 더 미분우선이 된다.''' 즉 특수함수('''S'''pecial functions)까지 고려하면 SLIATE 또는 SILATE가 된다. 단, 아래 둘은 예외적으로 적분우선이다. 함부로 미분했다간 [[디랙 델타 함수|계산을 망치기 딱 좋기 때문이다]].[* 참고로 저 둘의 적분은 쉽다(각각 [math(|x|+ \mathsf{const.}, \dfrac{x+|x|}{2}+ \mathsf{const.})]).] * [[부호 함수]] [math(\mathrm{sgn}(x))] * [[헤비사이드 계단 함수]] [math(u(x))] [include(틀:문서 가져옴,title=부분적분,version=167)] [[분류:해석학(수학)]][[분류:미적분]]