[include(틀:해석학·미적분학)] [목차] == 개요 == {{{+1 Bernoulli Numbers}}} 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대해 [math(B_n)]으로 나타내어지는 [[수열]]이다. == 상세 == 이 수열 자체에 대해서는 그다지 많이 알려지지 않았지만 [math(\tan x)], [math(\cot x)], [math(\tanh x)], [math(\coth x)] 등 다수의 삼각함수, 쌍곡선 함수의 테일러 급수에 [math(B_{2n})]이라는 형태로 자리를 차지하고 있어 미친 존재감을 자랑한다. [math(B_n)]이 아닌 [math(B_{2n})]을 쓰는 이유는 [math(B_{2n+1} = 0~ (n\ge1))], 즉 '''제[math(\bf3)]항 이상의 홀수항이 모조리 [math(\bf0)]'''이라는 독특한 성질이 있기 때문이다.[* 이것과 비슷한 성질의 수열로서 [[오일러 수열]]이 있는데 이 수열은 '''모든 홀수항이 [math(\bf0)]'''이다.] 제[math(1)]항에 대해서도 간혹 [math(B_1 = \dfrac12)]라 나타내는 문헌이 존재하는데 이것은 베르누이 수열이 [math((-1)^nB_n)]로 정의되었기 때문이다.[* 당초 이 수열의 발견자인 [[야콥 베르누이]] 본인이 [math(B_1 = \dfrac12)]인 수열을 [math(B_n)]이라 정의했었는데, 훗날 연구를 통해 [[생성함수]]로 더 엄밀하게 정의될 수 있다는 것이 알려진 뒤 베르누이가 최초로 정의한 [math(B_n)]은 사실 [math(B^+_n)]임이 밝혀졌다.] 혼동을 피하기 위해 일반적인 베르누이 수열을 [math(B^-_n)]로, [math((-1)^n)]을 곱한 베르누이 수열을 [math(B^+_n)]로 표기하기도 한다. 대략 제[math(18)]항까지의 값은 다음과 같다. || [math(n)] || [math(0)] || [math(1)] || [math(2)] ||<bgcolor=gray> [math(3)] || [math(4)] ||<bgcolor=gray> [math(5)] || [math(6)] ||<bgcolor=gray> [math(7)] || [math(8)] ||<bgcolor=gray> [math(9)] || [math(10)] ||<bgcolor=gray> [math(11)] || [math(12)] ||<bgcolor=gray> [math(13)] || [math(14)] ||<bgcolor=gray> [math(15)] || [math(16)] ||<bgcolor=gray> [math(17)] || [math(18)] || || [math(B_n)] || [math(1)] || [math(-\dfrac12)] || [math(\dfrac16)] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(-\dfrac1{30})] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(\dfrac1{42})] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(-\dfrac1{30})] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(\dfrac5{66})] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(-\dfrac{691}{2730})] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(\dfrac76)] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(-\dfrac{3617}{510})] ||<bgcolor=gray> [math(0)] || [math(\dfrac{43867}{798})] || == 역사 == 역사적으로는 다음과 같은 거듭제곱 합의 계수에 대한 연구에서 시작되었다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k &= \frac12n^2 + \frac12n \\ \sum_{k=1}^n k^2 &= \frac13n^3 + \frac12n^2 + \frac16n \\ \sum_{k=1}^n k^3 &= \frac14n^4 + \frac12n^3 + \frac14n^2 \\ \sum_{k=1}^n k^4 &= \frac15n^5 + \frac12n^4 + \frac13n^3 - \frac1{30}n \end{aligned})] || 훗날 [[야코프 베르누이]]가 [math(n)]의 거듭제곱에 붙은 계수들에 대해 일반항을 제시하기 전까지, 이 공식에 대해 열심히 연구하던 당대 수학자들[* '''[[페르마]]'''도 이를 연구했었다! 사실 그는 구적법 때문에 거듭제곱 합의 중요성에 대해 인지하고 있었고, 그 일반식을 얻었으며 증명까지 해냈다고 했으나, [[여백이 부족하다|그 내용에 대해 자세한 기록을 남기지는 않았다]](……)~~페르마가 또~~] 중, 요한 파울하버(Johann Faulhaber)가 무려 [math(k^{17})]에 대한 합의 공식까지 제시하여 빼어난 기록을 남겼기에 오늘날에도 이 거듭제곱 합의 공식은 '''[[파울하버의 공식]]'''으로 알려져 있으나, 일반식을 제시한 건 베르누이이기 때문에 종종 '''베르누이의 공식''', 또는 단순히 '''거듭제곱 합의 공식'''이라고도 불린다. 자세한 것은 해당 문서 참조. 이와는 별개로 일본의 [[세키 다카카즈]]가 그의 저서 《괄요산법》(括要算法, 1712)에서 [math(n=12)]까지에 대해 구체적인 값을 제시하였으나 일반식을 제시한 건 아니기에 수열 이름에 포함될 정도의 업적으로 보지는 않는 듯 하다.[* 일본에서 출판되는 일부 교양 수학서들 중 '''세키 - 베르누이 수열'''이라는 명칭을 쓰는 게 있긴 하다.] == 정의 == 다음 [[생성함수]]를 이용하여 정의된다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\frac x{e^x -1} = \frac x2 \left( {\rm coth}\,\frac x2 - 1 \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n)] || [math(B_1 = \dfrac12)]인 [math(B^+_n)]의 경우, 위의 테일러 급수에서 [math(x)]만큼을 더한 급수의 계수에 해당하므로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\frac x{e^x -1} + x = \frac{xe^x}{e^x - 1} = \frac x{1 - e^{-x}} = \frac x2 \left( \coth\,\frac x2 + 1 \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B^+_n}{n!}x^n)] || 으로 정의된다. 물론 위 식들을 직접 미분하고 [math(x=0)]을 대입하는 미친짓(……)으로 값을 계산하진 않고, 각 식의 역수들이 테일러 급수식으로 용이하게 나타낼 수 있다는 점을 이용, 점화식을 유도하여 계산하는 것이 일반적이다. 예를 들어 [math(B_n)]의 경우 양변에 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac{e^x -1}x &= \frac1x \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} -1 \right) = \frac1x \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^{n-1}}{n!} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left\{ \frac{x^n}{(n+1)!} \right\} \\ &= 1 + \frac x{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots\cdots \end{aligned})] || 를 곱하면 우변이 [math(1)]이 되므로 좌변의 급수식을 적절하게 변형해주면 점화식이 얻어진다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac x{e^x -1}\frac{e^x -1}x &= \left( {B_0} + \frac{B_1}{1!}x + \frac{B_2}{2!}x^2 + \frac{B_3}{3!}x^3 + \cdots\cdots \right) \left( 1 + \frac x{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots\cdots \right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_rx^r}{r!} \frac{x^{n-r}}{(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_r x^n}{r!(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!} \frac{B_r x^n}{(n+1)!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+1)!} \sum_{r=0}^n \binom{n+1}r B_rx^n \\ &= B_0 + \frac1{2!} \sum_{r=0}^1 \binom2rB_rx + \frac1{3!} \sum_{r=0}^2 \binom3rB_rx^2 + \frac1{4!} \sum_{r=0}^3 \binom4rB_rx^3 + \cdots\cdots \\ &= 1 \end{aligned})] || 항등식이므로 [math(\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{n+1}rB_r = \delta_{0,\,n})]이며(단, [math(\delta_{0,\,n})]은 [[크로네커 델타]]) 이 식으로부터 점화식이 얻어진다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\sum_{r=0}^n \binom{n+1}rB_r = (n+1)B_n + \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} \\ \therefore B_n = \delta_{0,\,n} - \frac1{n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{n+1}rB_r)] || 제1항이 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1})]이 아닌 이유는, [math(n=0)]이면 [math(1)]이고 [math(n\ge1)]이면 [math(0)]이므로 사실상 값이 같기 때문이다. 보통은 [math(n\ge1)]이라는 조건을 붙이지만 공합(empty sum)[* 더해지는 수열 [math(a_n)]의 종류에 관계없이 [math(\alpha<\beta)]에 대해 합의 범위가 [math(\displaystyle\sum_{i=\beta}^\alpha a_n)]으로 주어지는 것.]을 [math(0)]으로 약속하는 일반적인 정의에 따르면 위 식은 음이 아닌 정수에 대해 성립한다. 한편, [math(\coth x)]는 정의에 따라 다음과 같이 나타내어지는데, 바로 위의 [[생성함수]]를 이용하여 표현할 수 있다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\dfrac{e^x + e^{-x}}2}{\dfrac{e^x - e^{-x}}2} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1} = 1 + \frac2{e^{2x} - 1} = 1 + \frac1x \frac{2x}{e^{2x} - 1} \\ &= 1 + \frac1x \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}(2x)^n \\ &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n B_n}{n!}x^{n-1} \end{aligned})] || [[삼각함수#s-8.2|쌍곡선 함수를 복소평면으로 확장시키면]] [math(\cosh ix = \cos x)], [math(\sinh ix = i \sin x)]의 관계가 있음을 알 수 있고, 이로부터 [math(\coth ix = -i\cot x)]임을 알 수 있으므로 위의 테일러 전개식에 [math(ix)]를 대입하면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \coth ix &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^nB_n}{n!}(ix)^{n-1} = 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{n-1}B_n}{n!}x^{n-1} \\ &= 1 + 2 \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n}B_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} \\ &= \left\{ 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} - i\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= -i\cot x \end{aligned})] || 실수부가 [math(0)]이 되어야하며 허수부의 급수가 곧 [math(\cot x)]의 테일러 급수가 된다. 위 식의 실수부에 대해 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 1 + 2B_1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 0)] || 이므로 [math(B_{2n+1} = -\dfrac12\delta_{0,\,n})]이 얻어지며 이 식으로부터 [math(3)] 이상의 홀수항은 [math(0)]이 된다는 것을 알 수 있다. 이 사실을 이용하면 전술했던 베르누이 수열의 점화식도 다음과 같이 축약시킬 수 있게 된다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} B_{2n} &= \delta_{0,\,n} - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{2n-1} \binom{2n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} + \frac12(1 - \delta_{0,\,n}) - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \end{aligned})] || [math(\dfrac12(1-\delta_{0,\,n}))]은 합의 기호 부분에서 [math(r=1)]일 때, 즉 [math(B_1)]이 곱해진 항을 계산하여 빼낸 부분인데, [math(n=0)]이면 [math(r=1)]인 항이 존재하지 않으므로 해당 항이 [math(0)]이 되면서 [math(n\ge1)]이면 [math(\dfrac12)]로 남아있도록 변형한 것이다. 이를 정리하면 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\therefore B_n \begin{cases} \begin{aligned} B_{2n} &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ B_{2n+1} &= -\frac12\delta_{0,\,n} \end{aligned} \end{cases})] || === 일반항 === ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n)] || 식이 복잡해 보이지만 두 번째 합의 식은 [[제2종 스털링 수]]의 일반항에서 유래했다. 즉, 제2종 스털링 수 표기를 이용해서 나타내면 다음과 같다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n \frac{k!(-1)^k}{k+1} S(n,\,k))] || 베르누이 수열의 일반항은 조금 특이한 과정을 거쳐서 구해진다. 우선 각 생성함수를 다음과 같은 조건 하에 치환을 거쳐 식을 변형해준다. [math({\rm i}))] [math(\displaystyle\frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B_n^+\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_n\frac{x^n}{n!})]에서 [math(1 - e^{-x} = t)]로 치환하면 [math(x = -\ln(1-t))]가 되는데 [math(x>0)]일 때, [math(0<t<1)]이므로 해당 식에 대해 매클로린 급수를 적용할 수 있다. 따라서 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= \frac{-\ln(1 - t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1-t} = \frac 1t \int \sum_{k=0}^\infty t^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{t^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(1 - e^{-x})^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \end{aligned})] || [math(\dfrac{(e^{-x} - 1)^k}{k!})]는 [[제2종 스털링 수]]의 생성함수이므로 생성함수 식으로 바꾼 뒤 일반항을 대입한다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac x{1 - e^{-x}} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^{-x} - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{(-x)^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{ k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left\{ \sum_{k=0}^n \frac 1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r} r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n}{\color{red}\left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac 1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n)] || [math({\rm ii}))] [math(\displaystyle\frac x{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{x^n}{n!})]에서 [math(e^x - 1 = t)]로 치환하면 [math(x = \ln(1+t))]가 되는데 [math(x<0)]일 때, [math(-1<t<0)]이므로 마찬가지로 매클로린 급수를 적용한다. ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac x{e^x - 1} &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}B_n}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \\ &= \frac{\ln(1+t)}t = \frac1t \int \frac{{\rm d}t}{1+t} = \frac1t \int \sum_{k=0}^\infty (-t)^k\,{\rm d}t = \frac1t \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kt^{k+1}}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty t^k\frac{(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty (e^x - 1)^k\frac{(-1)^k}{k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(e^x - 1)^k}{k!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \left\{ \sum_{k=0}^n \frac1{\cancel{k!}} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^{k-r}r^n \frac{\cancel{k!}(-1)^k}{k+1} \right\} \frac{x^n}{n!} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=0}^\infty}{\color{red}\left\{\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n \right\}}{\color{blue}\frac{x^n}{n!}} \end{aligned} \\ \therefore B_n = \sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^rr^n)] || [math(B_n^+)]의 경우 [[생성함수]]식 [math(\displaystyle \frac x{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^\infty B^+_n \frac{x^n}{n!})]에서 좌변의 식은 [math(\dfrac x{e^x -1}e^x)]와 같다. 즉 같은 방식으로 식을 전개해나가면 제2종 스털링 수의 생성함수 식이 [math(\dfrac{e^x(e^x - 1)^k}{k!})]로 주어지고 [math(\displaystyle \frac{e^x(e^x - 1)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{x^n}{n!})]이므로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} B^+_n &= \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n+1 \\ k+1 \end{Bmatrix} \frac{k!(-1)^k}{k+1} \\ &=\sum_{k=0}^n \frac1{k+1} \sum_{r=0}^k \binom kr(-1)^r(r+1)^n \end{aligned})] || == 성질 == ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+1}k B_k = \delta_{n,\,0})] || 상기 점화식을 구하는 과정에서 유도된 것이다. [math(\delta_{n,\,0})]는 [[크로네커 델타]]로 [math(\delta_{n,\,m} = \begin{cases} 1~(n=m) \\ 0~(n \ne m) \end{cases})]를 만족하는 함수이다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+1}k B^+_k = n+1)] || [[파울하버의 공식]] [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{n=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1} \binom{c+1}kB_kn^{n+1-k})]에서 [math(n=1)]을 대입하고 [math(B^+_n = (-1)^nB_n)]를 이용하면 된다. 두 식을 더하면 베르누이 수열의 짝수 항만 남고 좌변이 2배가 되므로 ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>[math(\displaystyle\sum_{k=0}^{\left\lfloor{\frac n2}\right\rfloor} \binom{n+1}{2k}B_{2k} = \frac{n+1 + \delta_{n,\,0}}2)] || 로 간략화할 수 있다. [math(\lfloor \cdot \rfloor)]는 [[바닥 함수]]이다. == 이용 == 주로 [[테일러 급수]]에서 많이 쓰이고, 전술한대로 거듭제곱 합의 공식에도 쓰인다. 아래 목록에 없는 [math(\sec x)]와 [math({\rm sech}\, x)]는 [[오일러 수열]]을 이용해서 표현한다. 베르누이 수열이 [[오일러 수열]]과 서로 합연산[* 점화식이라고 생각하는 게 차라리 낫다.] 관계에 있기는 하나(후술) 이걸 이용해서 두 급수를 표현하려면 식이 엄청 복잡해진다. 자세한 것은 항목 참조. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{(-1)^k}{c+1}\binom{c+1}kB_kn^{c+1-k})] || [[파울하버의 공식]]이라고 한다. 식의 유도 과정은 해당 문서 참조. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac13x - \frac1{45}x^3 - \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots)] * [math(\displaystyle\tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{\{(-4)^n - (-16)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots)] || [math(\cot x - \tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x} - \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\cos^2x - \sin^2x}{\sin x\cos x} = \dfrac{\cos2x}{\dfrac12\sin2x} = 2\cot2x)]에서 [math(\tan x = \cot x - 2\cot 2x)]라는 관계를 유도할 수 있어 위의 식이 자연스럽게 얻어진다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{\{2(-1)^n - (-4)^n\}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac16x + \frac7{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots)] || [math(\dfrac12(\tan x + \cot x) = \dfrac12\left(\dfrac{\cos x}{\sin x} + \dfrac{\sin x}{\cos x}\right) = \dfrac{\cos^2x + \sin^2x}{2\sin x\cos x} = \dfrac1{\sin2x} = \csc 2x)]에서 [math(\csc x = \dfrac12\left(\tan\dfrac x2 + \cot\dfrac x2\right))]를 이용하면 된다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle\coth x = \sum_{n=0}^\infty \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x + \frac13x - \frac1{45}x^3 + \frac2{945}x^5 - \cdots\cdots)] || 위에서 유도한 식의 형태와 조금 다른데, 베르누이 수열에서 [math(3)] 이상의 홀수 항이 [math(0)]이 된다는 점을 적용해서 간략화시킨 형태이기 때문이다. [math(\coth x = i\cot ix)]를 이용해서도 유도할 수 있다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = x - \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 - \frac{17}{315}x^7 + \cdots\cdots)] || [math(\tanh x = -i \tan ix)]를 이용해서 유도할 수 있다. ||<bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023>'''''' * [math(\displaystyle{\rm csch}\,x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2 - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} = \frac1x - \frac16x + \frac7{360}x^3 - \frac{31}{15120}x^5 + \cdots\cdots)] || [math({\rm csch}\,x = i \csc ix)]를 이용해서 유도할 수 있다. == [[오일러 수열]]과의 관계 == 삼각함수 및 쌍곡선 함수가 각종 사칙연산을 통해 서로 연관되어있기 때문에, 베르누이 수열과 오일러 수열 역시 서로 무관하지는 않다. 다만, 아무래도 각 함수의 곱(즉, 테일러 급수끼리의 곱)이 반드시 포함되어 있기에 서로 합연산의 관계에 있어서 손계산이 그렇게 간단한 형태로 나오지는 않는다. 차라리 서로 점화식의 관계에 있다고 이해하는 편이 빠를 것이다. === 오일러 수열을 이용한 베르누이 수 표현 === [math({\rm sech}\,x\sinh x = \tanh x)]이므로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned} \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \right\}\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} &= {\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n-1}} \\ \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{E_{2r}x^{2r}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!E_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac 1{(2n+1)!} \binom{2n+1}{2r}E_{2r}x^{2n+1} \\ &= {\color{blue}\sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r}}{\color{blue}x^{2n-1}} \end{aligned} \\ \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!} = \sum_{r=0}^{n-1} \frac 1{(2n-1)!} \binom{2n-1}{2r}E_{2r} \\ \therefore B_{2n} = \frac{2n}{16^n - 4^n}\sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2r}E_{2r})] || 오일러 수열이 정수 수열이고 조합도 자연수이기 때문에 결과적으로 연산 자체는 정수의 사칙연산이 된다. 분수끼리 더하고 빼야하는 베르누이 수열의 점화식 계산보다는 훨씬 수월할 것이다. === 베르누이 수열을 이용한 오일러 수열 표현 === [math(\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x)]이므로, [math(\sinh x\tanh x)]부분에 대해 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned}&\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\} \left\{\sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{(16^r - 4^r)B_{2r}x^{2r-1}}{(2r)!} \frac{x^{2n-2r+1}}{(2n-2r+1)!} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{r=1}^n \frac{16^r - 4^r}{(2n+1)!} \frac{(2n+1)!B_{2r}}{(2r)!(2n-2r+1)!}x^{2n} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\end{aligned})] || 따라서 [math({\rm sech}\, x)]에 관한 등식은 다음과 같이 되며 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle\begin{aligned}&\cosh x - \sinh x\tanh x = {\rm sech}\,x \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}x^{2n}\right\} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\frac{E_{2n}}{(2n)!}}{\color{blue}x^{2n}} \\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)!}x^{2n} - \left\{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n+1)!}\sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r}\right\}x^{2n} \\ &= {\color{blue}1 + \sum_{n=1}^\infty}{\color{red}\left\{ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} \right\}}{\color{blue}x^{2n}}\end{aligned} \\ \frac1{(2n)!} - \frac1{(2n+1)!} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r} = \frac{E_{2n}}{(2n)!} \\ \therefore E_{2n} = 1 - \frac1{2n+1} \sum_{r=1}^n (16^r - 4^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r})] || [math(r=0)]이면 [math((16^r - 4^r)\dbinom{2n+1}{2r}B_{2r} = 0)]이므로 합의 기호 부분은 [math(r=0)]부터 더해주는 것으로 바꿔도 무관하다. 즉 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle E_{2n} = 1 + \dfrac1{2n+1} \sum_{r=0}^n (4^r - 16^r)\binom{2n+1}{2r}B_{2r})] || 한편 [math(\dfrac1{2n+1}\dbinom{2n+1}{2r} = \dfrac1{(2n+1)}\dfrac{(2n+1)!}{(2r)!(2n-2r+1)!} = \dfrac{(2n)!}{(2r)!(2n-2r+1)(2n-2r)!} = \dfrac1{2n-2r+1}\dbinom{2n}{2r})]이므로 ||<tablealign=center><bgcolor=#fff,#1f2023><tablebordercolor=#fff,#1f2023> [math(\displaystyle E_{2n} = 1 + \sum_{r=0}^n \frac{4^r - 16^r}{2n-2r+1}\binom{2n}{2r}B_{2r})] || 로도 나타낼 수 있다. 어느 식이든 베르누이 수열이 유리수 수열이기 때문에 오일러 수열로 나타낸 베르누이 수열과는 달리 이쪽은 오히려 계산이 복잡해진다. [[분류:해석학(수학)]][[분류:수열]]