[include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 Special angles · [[特]][[殊]][[角]]}}} [[각]] 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값을 모아 놓은 문서이다. 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어진다는 특징이 있으며, 삼각형 관련 문제 및 [[미적분]]을 풀 때 특수각을 외워놔야 하는 상황이 적지 않다. 크게 [[주치]]([0,2π]) 내의 실수 각과 [[허수]] 각을 다루며, 특수각의 [[삼각함수]] 값도 서술한다. [[파일:external/upload.wikimedia.org/720px-Unit_circle_angles.svg.png]] [math(\displaystyle \sin{\theta} = \pm {\sqrt{n} \over 2} , (n = 0, 1, 2, 3, 4) )]이 성립하는 각, 나머지는 유도 가능. == [[0]] == 말 그대로 '''각도가 0'''이다. 한 각이 0인 삼각형은 없으므로 0에 해당하는 [[삼각비|삼각'''비''']]는 우극한이 존재하나 정의는 되지 않으며, [[삼각함수|삼각'''함수''']]값은 존재한다. * [math(\displaystyle \sin 0 = 0)] * [math(\displaystyle \cos 0 = 1)] * [math(\displaystyle \tan 0 = 0)] * [math(\displaystyle \csc 0)]은 '''정의되지 않는다.''' * [math(\displaystyle \sec 0 = 1)] * [math(\displaystyle \cot 0)]은 '''정의되지 않는다.''' == [math(\displaystyle {\pi \over 6})] (30˚) == 정삼각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. * [math(\displaystyle \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2})] * [math(\displaystyle \cos {\pi \over 6} = {\sqrt{3} \over 2})] * [math(\displaystyle \tan {\pi \over 6} = {1 \over \sqrt{3}})] * [math(\displaystyle \csc {\pi \over 6} = 2)] * [math(\displaystyle \sec {\pi \over 6} = {2 \over \sqrt{3}})] * [math(\displaystyle \cot {\pi \over 6} = \sqrt{3})] == [math(\displaystyle {\pi \over 4})] (45˚) == 정사각형의 내각을 2등분하면 얻을 수 있는 각이다. 뭔가를 쳐서 날릴 때 가장 멀리 가는 각이기도 하다.[* 중력장 내부에 있는 어떤 입자를 비스듬하게 연직 위로 쏘아올려 [[포물선 운동]]을 하게 했을 때 초기속력을 [math(v_0)], 발사각을 [math(\theta)], 중력가속도를 [math(g)], 입자의 최대 수평도달거리를 [math(R)]이라 하면 [math(R=\dfrac{{v_0}^{2} \, {\sin2\theta}}{g})]이다. [math(0^{\circ}<\theta<90^{\circ})]일 때 [math(0<\sin2\theta≦1)]이고 [math(\sin2\theta=1)]이 되도록 하는 [math(2\theta=90^{\circ})]이므로 [math(\theta=45^{\circ})]이다.][* 공기 저항이 있는 현실에서는 π/4보다 낮게 던져야 더 멀리 날아간다.] * [math(\displaystyle \sin {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}})] * [math(\displaystyle \cos {\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}})] * [math(\displaystyle \tan {\pi \over 4} = 1)] * [math(\displaystyle \csc {\pi \over 4} = \sqrt{2})] * [math(\displaystyle \sec {\pi \over 4} = \sqrt{2})] * [math(\displaystyle \cot {\pi \over 4} = 1)] == [math(\displaystyle {\pi \over 3})] (60˚) == 정삼각형의 한 내각의 크기다. * [math(\displaystyle \sin {\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2})] * [math(\displaystyle \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2})] * [math(\displaystyle \tan {\pi \over 3} = \sqrt{3})] * [math(\displaystyle \csc {\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}})] * [math(\displaystyle \sec {\pi \over 3} = 2)] * [math(\displaystyle \cot {\pi \over 3} = {1 \over \sqrt{3}})] == [anchor(직각)][math(\displaystyle {\pi \over 2})] (90˚, 직각) == {{{+1 Right angle · [[直]][[角]]}}} '''가장 유명하면서도 중요성이 높은 특수각'''으로, 다름아닌 직각삼각형과 직사각형을 정의하기 위한 각이다. 원의 중심과 접선이 이루는 각도 이 각이며, [[삼각형의 오심#s-5|수심]]도 이것으로 정의된다. [[삼각함수]]의 정의도 이 각을 끼고 있는 삼각형의 변의 비율에서 출발했다. [[미적분|삼각형과는 상관 없는 곳]]에서 더 많이 쓰여서 그렇지... * [math(\displaystyle \sin {\pi \over 2} = 1)] * [math(\displaystyle \cos {\pi \over 2} = 0)] * [math(\displaystyle \tan {\pi \over 2})]는 '''정의되지 않는다.''' * [math(\displaystyle \csc {\pi \over 2} = 1)] * [math(\displaystyle \sec {\pi \over 2})]는 '''정의되지 않는다.''' * [math(\displaystyle \cot {\pi \over 2} = 0)] == [math(\displaystyle {2\pi \over 3})] (120˚) == 정삼각형 두 개로 평행사변형을 만들면 생기는 각이다. 정육각형의 한 내각의 크기이기도 하다. [[라그랑주점]]을 논할 때 가장 중요하게 여기는 각도이기도 하다. * [math(\displaystyle \sin {2\pi \over 3} = {\sqrt{3} \over 2})] * [math(\displaystyle \cos {2\pi \over 3} = -{1 \over 2})] * [math(\displaystyle \tan {2\pi \over 3} = -\sqrt{3})] * [math(\displaystyle \csc {2\pi \over 3} = {2 \over \sqrt{3}})] * [math(\displaystyle \sec {2\pi \over 3} = -2)] * [math(\displaystyle \cot {2\pi \over 3} = -{1 \over \sqrt{3}})] == [math(\displaystyle {3\pi \over 4})] (135˚) == 정사각형과 그 절반의 직각삼각형을 합쳐 놓은 각이다. 정팔각형의 한 내각의 크기이기도 하다. * [math(\displaystyle \sin {3\pi \over 4} = {1 \over \sqrt{2}})] * [math(\displaystyle \cos {3\pi \over 4} = -{1 \over \sqrt{2}})] * [math(\displaystyle \tan {3\pi \over 4} = -1)] * [math(\displaystyle \csc {3\pi \over 4} = \sqrt{2})] * [math(\displaystyle \sec {3\pi \over 4} = -\sqrt{2})] * [math(\displaystyle \cot {3\pi \over 4} = -1)] == [math(\displaystyle {5\pi \over 6})] (150˚) == 정사각형과 정삼각형의 모서리를 붙이면 나오는 각이다. * [math(\displaystyle \sin {5\pi \over 6} = {1 \over 2})] * [math(\displaystyle \cos {5\pi \over 6} = -{\sqrt{3} \over 2})] * [math(\displaystyle \tan {5\pi \over 6} = -{1 \over \sqrt{3}})] * [math(\displaystyle \csc {5\pi \over 6} = 2)] * [math(\displaystyle \sec {5\pi \over 6} = -{2 \over \sqrt{3}})] * [math(\displaystyle \cot {5\pi \over 6} = -\sqrt{3})] == [math(\displaystyle {\pi})] (180˚, 평각) == {{{+1 Straight angle · [[平]][[角]]}}} 평면도형의 모서리가 띠는 각도. 평평하다고 해서 평각이라고도 하며, 관용적으로 "완전히 반대되는 것"을 가리키는 말로도 쓰인다. 주치 구간의 절반 지점이며, 다름아닌 '''[[오일러의 등식]]'''에 이 각이 들어간다. * [math(\displaystyle \sin {\pi} = 0)] * [math(\displaystyle \cos {\pi} = -1)] * [math(\displaystyle \tan {\pi} = 0)] * [math(\displaystyle \csc {\pi})]는 '''정의되지 않는다.''' * [math(\displaystyle \sec {\pi} = -1)] * [math(\displaystyle \cot {\pi})]는 '''정의되지 않는다.''' == [math(\displaystyle {3 \pi \over 2})] (270˚) == 직사각형의 바깥쪽 각이다. * [math(\displaystyle \sin {3\pi \over 2} = -1)] * [math(\displaystyle \cos {3\pi \over 2} = 0)] * [math(\displaystyle \tan {3\pi \over 2})]는 '''정의되지 않는다.''' * [math(\displaystyle \csc {3\pi \over 2} = -1)] * [math(\displaystyle \sec {3\pi \over 2})]는 '''정의되지 않는다.''' * [math(\displaystyle \cot {3\pi \over 2} = 0)] == [math(\displaystyle 2 \pi)] (360˚) == 한 바퀴 돌아 원점으로 돌아왔다. 여기서 주치(周値)라는 말이 생겼으며, 주치 밖의 값은 [math(2 \pi)]로 나눈 나머지와 같은 각도로 취급하게 된다. * [math(\displaystyle \sin 2 \pi = 0)] * [math(\displaystyle \cos 2 \pi = 1)] * [math(\displaystyle \tan 2 \pi = 0)] * [math(\displaystyle \csc 2 \pi)]은 '''정의되지 않는다.''' * [math(\displaystyle \sec 2 \pi = 1)] * [math(\displaystyle \cot 2 \pi)]은 '''정의되지 않는다.''' == [[작도]] 가능한 각도 == 정삼각형, 직각이등변삼각형을 이용하여 30˚, 60˚, 45˚ 가 작도 가능하다는 데서부터 시작한다. * 15˚ : 45˚와 30˚가 작도가 가능하므로, 이 둘의 차이를 이용하면 15˚도 작도 가능하다. 경우에 따라서는 15˚, 75˚도 특수각 범주에 넣기도 한다. * [math(\displaystyle \sin {\pi \over 12} = \cos {5\pi \over 12} = {\sqrt{6} - \sqrt{2}\over 4})] * [math(\displaystyle \cos {\pi \over 12} = \sin {5\pi \over 12}= {\sqrt{6} + \sqrt{2}\over 4})] * 72˚ : [[정오각형]]은 작도가 가능하다. 그러므로 360˚/5 = 72˚는 작도 가능하다. 이걸 이용해 18°, 36°, 54° 또한 가능. * [math(\displaystyle \sin {\pi \over 10} = \cos {2\pi \over 5} = {\sqrt{5} - \sqrt{1}\over 4})] * [math(\displaystyle \sin {\pi \over 5} = \cos {3\pi \over 10}= {\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\over 4})] * [math(\displaystyle \sin {3\pi \over 10} = \cos {\pi \over 5} = {\sqrt{5} + \sqrt{1}\over 4})] * [math(\displaystyle \sin {2\pi \over 5} = \cos {\pi \over 10}= {\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\over 4})] * 3˚ : 72˚ 와 60˚ 가 작도 가능하므로, 12˚ 역시 작도 가능하다. 이를 각의 이등분을 이용해서 6˚를 작도 가능하고, 다시 이등분 하면 3˚ 역시 작도 가능하다. 간단히는 72˚와 75˚를 작도해도 된다. 다시 말해 3˚의 배수에 해당되는 각은 모두 작도 가능하다. * 1.5˚, 0.75˚ , 0.375˚ ... : 3˚ 를 계속 이등분하여 나오는 각들은 모두 작도 가능하다. 또한 이 각들의 정수배들 역시 모두 작도 가능하다. * [math(\displaystyle \frac {2 \pi}{17}= \frac{360^\circ}{17})] (약 21.1764705882˚) : [[카를 프리드리히 가우스#s-3.1|정17각형]]이 작도 가능하므로, 이 각 역시 작도 가능하다. 참고로, [[페르마 소수]]에 해당하는 정다각형과 그의 2^^n^^배수(이하 동일) 정다각형은 모두 작도 가능하다. 즉, 정257각형과 정65537각형도 작도 가능하며, 이로 부터 유래되는 각도도 작도 가능하다. 또 서로 다른 페르마 소수와의 곱에 해당하는 정다각형[* 정15(=3×5)각형, 정408(=2^^3^^×3×17)각형, 정8224(=2^^5^^×257)각형 등등]도 작도 가능하다. 단, 같은 페르마 소수끼리 곱해서 나온 정다각형[* 정27(=3^^3^^)각형, 정225(=3×5^^3^^)각형, 정1156(=2^^2^^×17^^2^^)각형 등등]은 작도 불가능하다. == 허수 단위 [[허수|[math({i})]]] == 허수 각이라니 이게 무슨 [[개 풀 뜯어 먹는 소리]]냐고 묻는 이들이 있지만, 이 바닥이 그렇듯 현실의 개념을 뛰어넘는 짓거리를 저지르곤 한다(...).심지어 코사인의 경우 실수(...)가 튀어나온다. 허수 각을 얻은 삼각형은 쌍곡선이라는 다른 도형으로 변하게 되며, 그래서 삼각함수가 [[쌍곡함수]]로 탈바꿈하게 된다. 아래 항등식에서 [math(e)]는 [[자연로그의 밑]]이다. * [math(\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i)] * [math(\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e })] * [math(\displaystyle \tan{ i } = {i \sinh{ 1 } \over \cosh{ 1 }} = \frac{ e^2 - 1 }{ e^2 + 1 }i)] * [math(\displaystyle \csc{ i } = {1 \over i\sinh{ 1 }} = -\frac{ 2 }{ e - e^{ -1 } } i = -\frac{ 2e }{ e^2 - 1 } i)] * [math(\displaystyle \sec{ i } = {1 \over \cosh{ 1 }} = \frac{ 2 }{ e + e^{ -1 } } = \frac{ 2e }{ e^2 + 1 })] * [math(\displaystyle \cot{ i } = {\cosh{ 1 } \over i \sinh{ 1 }} = -\frac{ e^2 + 1 }{ e^2 - 1 }i)] == 관련 문서 == * [[삼각함수]] [[분류:수학]]