[include(틀:기하학·위상수학)] [목차] == 개요 == {{{+1 topologist's sine curve}}} '''위상수학자의 사인곡선'''이란 [[2차원]] 공간 [math(\mathbb R^2)] 위에 정의된 특수한 [[집합]]으로, [[연결 공간]]이지만 [[경로 연결 공간]]이 아닌 대표적인 예시이다. == 정의 == 함수 [math(f: \mathbb R - \left\{ 0 \right\} \to \mathbb R)]을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac 1x, & \mathsf{if} \ x \neq 0 \\ 0, & \mathsf{if} \ x = 0 \end{cases})]}}} 라고 정의하자. 이 때 [math(f \rvert _{(0, 1]})]의 그래프 [math(T \subset \mathbb R^2)]는 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(T = \left\{ (x, f(x)) \in \mathbb R^2 | x \in (0, 1] \right\} = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \in \mathbb R^2 \ \bigg| \ x \in (0, 1] \right\})]}}} 여기서 [math(T \subset \mathbb R^2)]의 폐포 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\overline T = \left\{ \left( x, \sin \dfrac 1x \right) \bigg| \ x \in (0, 1] \right\} \bigcup \left\{ (0, y) \ | \ y \in [-1, 1] \right\} \subset \mathbb R^2)]}}} 을 위상수학자의 사인 곡선이라고 부른다. == 개형 == ||<tablealign=center><tablebordercolor=black,white>{{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [[파일:topologist's sine curve.png|width=100%&align=center]]}}}|| || ▲ '''위상수학자의 사인 곡선'''의 개형. [[https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+y+%3D+sin%281%2Fx%29%3B+0%3C%3Dx%3C%3D1|Wolfram Alpha]] || {{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{cases} \sin \theta = 0 & \Leftrightarrow \theta = n \pi, & \mathsf{for} \ \mathsf{some} \ n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = 1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 12 \right) \pi, & \mathsf{for} \ \mathsf{some} \ n \in \mathbb Z \\ \sin \theta = -1 & \Leftrightarrow \theta = \left(2n + \dfrac 32 \right) \pi, & \mathsf{for} \ \mathsf{some} \ n \in \mathbb Z \end{cases})]}}} 이므로, [math(\overline T)]는 [math(\left( \dfrac 1{n \pi}, 0 \right))], [math(\left( \dfrac 1{\left(2n + 1/2 \right) \pi}, 1 \right))], [math(\left( \dfrac 1{\left(2n + 3/2 \right) \pi}, -1 \right))]([math(n \in \mathbb N)])와 같은 점을 모두 포함한다. 이 때 [math(n)]이 [math(1)] 증가할 때마다, [[사인 곡선]] 한 주기를 지나게 되므로 우리의 [math(\overline T)]는 [math(0)]으로 다가갈수록 주기가 짧아짐을 알 수 있다. 또 임의의 실수 [math(\gamma \in [-1, 1])]에 대하여 [math(\sin \phi = \gamma )]인 [math(\phi \in [0, 2 \pi])]가 존재하므로, 다음과 같은 [math(T)]의 부분집합을 생각할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(T_\gamma = \left\{ \left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right) \bigg| \ n \in \mathbb N \right\})]}}} [math(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac 1{2n \pi + \phi} = 0)]이므로, [math(T_\gamma )]의 폐포는 [math(\overline {T_\gamma } = T_\gamma \ \cup \ \left\{ (0, \gamma ) \right\})]이다. 따라서 [math(\lim \limits_{x \to 0+} f(x))]는 존재하지 않는다. == 성질 == ||<tablewidth=100%><(> '''[보조정리 1]''' ---- [math(\overline T)]는 [[연결 공간]]이다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 우선, [math(T)]가 경로 연결 공간임을 보이자. [math(T)] 위의 임의의 두 점이 [math(\left( x, \sin \dfrac 1x \right))], [math(\left( y, \sin \dfrac 1y \right))]일 때, 경로 [math(f: I = [0, 1] \to T)]를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(f(t) := \left( x + t(y - x), \sin \dfrac 1{x + t(y - x)} \right))]}}} 로 놓으면 [math(f)]가 두 점 사이의 경로를 준다. 이제 곡선 [math(T)]가 경로 연결 공간이므로, [math(T)]는 자연스럽게 연결 공간이 된다.[* 이는 단위 구간 [math(I = [0, 1])]이 [[연결 공간]]이므로 성립한다.] 연결 공간의 폐포도 연결 공간이므로, [math(\overline T)]는 연결 공간이다.□}}} || ||<tablewidth=100%><(> '''[보조정리 2]''' ---- [math(\overline T)]는 [[경로 연결 공간]]이 아니다. ---- {{{#!folding [ 증명 ] 결론을 부정하여 [math(\overline T)]가 경로 연결 공간이라고 하자. 그러면, [math(\overline T)]의 점 [math(f(0) = (0, 1))]과 [math(f(1) = (1, \sin 1))]을 잇는 경로 [math(f: I = [0, 1] \to \overline T)]가 존재한다. 경로 [math(f)]는 2차원 공간 [math(\mathbb R^2)]를 공역으로 갖는 연속함수이므로, [math(x)]축 및 [math(y)]축에 해당하는 성분함수 [math(f_1: I = [0, 1] \to \mathbb R)]와 [math(f_2: I = [0, 1] \to \mathbb R)]도 연속함수이다. 이제 [math(\overline T)]의 닫힌 부분집합 [math(\left\{ 0 \right\} \times I \subset \overline T)]를 생각하면, 역상 [math(f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I))]도 [math(I)]의 닫힌 부분집합 이어야 한다. 한편 실수의 [[콤팩트성|유계이면서 닫힌 부분집합]]은 최댓값을 가지므로, [math(\alpha = \max f^{-1}(\left\{ 0 \right\} \times I))]라 놓을 때 [math(f(\alpha ) = (0, \beta ) \in \left\{ 0 \right\} \times I)]이다. 다음으로 [math(\gamma \in I - \left\{ \beta \right\})]인 [math(\gamma)]를 고르고, [math(\sin \phi = \gamma )]인 [math(\phi \in [0, 2 \pi])]를 택하자. [math(\alpha < 1)]이므로, [math(\alpha < \alpha' < 1)]인 [math(\alpha')]를 아무거나 고르자. [math(\alpha' > \alpha)]이므로 [math(f_1(\alpha') > 0)]이다. 따라서 [[중간값 정리]]에 의해 [math(f_1([\alpha, \alpha']))]은 [math(\left[ 0, f_1(\alpha') \right])]의 모든 값을 가지며, 이 중에는 특별히 [math(\dfrac 1{2n \pi + \phi})]와 같은 수들이 무수히 많이 존재한다. 따라서, [math(f([\alpha, \alpha']))]는 무수히 많은 [math(\left( \dfrac 1{2n \pi + \phi}, \gamma \right))]를 가진다. 이 집합의 극한점은 [math((0, \gamma))]인데, 구간 [math([\alpha, \alpha'])]가 닫힌 집합이므로 [math((0, \gamma) \in f([\alpha, \alpha']))]이다. 그런데 [math([\alpha, \alpha'])]의 점 중에서 [math(\alpha)]를 제외한 점들은 전부 [math(x)]좌표가 양수이므로 [math((0, \gamma))]가 될 수 있는 것은 [math(\alpha)] 뿐이다. 그러나, [math(f(\alpha ) = (0, \beta ) \neq (0, \gamma))] 이므로 모순을 얻는다. 종합하면 [[귀류법]]의 가정이 잘못되었으며, [math(\overline T)]는 경로 연결 공간이 아니라는 결론을 얻는다.□}}}|| == 의의 == 이 집합의 존재로 인해, [[연결 공간]]과 [[경로 연결 공간]]은 같은 개념이 아님을 알 수 있다. [각주][include(틀:문서 가져옴, title=사인 곡선, version=124, paragraph=6)] [[분류:위상수학]]