분류
1. 개요
2. 정의
함수 [math(f: mathbb R - left{ 0 right} to mathbb R)]을
[math(f(x) = begin{cases} sin dfrac 1x, & mathsf{if} x neq 0 \ 0, & mathsf{if} x = 0 end{cases})]
라고 정의하자. 이 때 [math(f rvert _{(0, 1]})]의 그래프 [math(T subset mathbb R^2)]는 다음과 같다.
[math(T = left{ (x, f(x)) in mathbb R^2 | x in (0, 1] right} = left{ left( x, sin dfrac 1x right) in mathbb R^2 bigg| x in (0, 1] right})]
여기서 [math(T subset mathbb R^2)]의 폐포
[math(overline T = left{ left( x, sin dfrac 1x right) bigg| x in (0, 1] right} bigcup left{ (0, y) | y in [-1, 1] right} subset mathbb R^2)]
을 위상수학자의 사인 곡선이라고 부른다.
[math(f(x) = begin{cases} sin dfrac 1x, & mathsf{if} x neq 0 \ 0, & mathsf{if} x = 0 end{cases})]
라고 정의하자. 이 때 [math(f rvert _{(0, 1]})]의 그래프 [math(T subset mathbb R^2)]는 다음과 같다.
[math(T = left{ (x, f(x)) in mathbb R^2 | x in (0, 1] right} = left{ left( x, sin dfrac 1x right) in mathbb R^2 bigg| x in (0, 1] right})]
여기서 [math(T subset mathbb R^2)]의 폐포
[math(overline T = left{ left( x, sin dfrac 1x right) bigg| x in (0, 1] right} bigcup left{ (0, y) | y in [-1, 1] right} subset mathbb R^2)]
을 위상수학자의 사인 곡선이라고 부른다.
3. 개형
▲ 위상수학자의 사인 곡선의 개형. Wolfram Alpha
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[math(begin{cases} sin theta = 0 & Leftrightarrow theta = n pi, & mathsf{for} mathsf{some} n in mathbb Z \ sin theta = 1 & Leftrightarrow theta = left(2n + dfrac 12 right) pi, & mathsf{for} mathsf{some} n in mathbb Z \ sin theta = -1 & Leftrightarrow theta = left(2n + dfrac 32 right) pi, & mathsf{for} mathsf{some} n in mathbb Z end{cases})]
이므로, [math(overline T)]는 [math(left( dfrac 1{n pi}, 0 right))], [math(left( dfrac 1{left(2n + 1/2 right) pi}, 1 right))], [math(left( dfrac 1{left(2n + 3/2 right) pi}, -1 right))]([math(n in mathbb N)])와 같은 점을 모두 포함한다. 이 때 [math(n)]이 [math(1)] 증가할 때마다, 사인 곡선 한 주기를 지나게 되므로 우리의 [math(overline T)]는 [math(0)]으로 다가갈수록 주기가 짧아짐을 알 수 있다. 또 임의의 실수 [math(gamma in [-1, 1])]에 대하여 [math(sin phi = gamma )]인 [math(phi in [0, 2 pi])]가 존재하므로, 다음과 같은 [math(T)]의 부분집합을 생각할 수 있다.
[math(T_gamma = left{ left( dfrac 1{2n pi + phi}, gamma right) bigg| n in mathbb N right})]
[math(lim limits_{n to infty} dfrac 1{2n pi + phi} = 0)]이므로, [math(T_gamma )]의 폐포는 [math(overline {T_gamma } = T_gamma cup left{ (0, gamma ) right})]이다. 따라서 [math(lim limits_{x to 0+} f(x))]는 존재하지 않는다.
4. 성질
[보조정리 1]
[math(overline T)]는 연결 공간이다.
[ 증명 ]우선, [math(T)]가 경로 연결 공간임을 보이자. [math(T)] 위의 임의의 두 점이 [math(left( x, sin dfrac 1x right))], [math(left( y, sin dfrac 1y right))]일 때, 경로 [math(f: I = [0, 1] to T)]를 [math(f(t) := left( x + t(y - x), sin dfrac 1{x + t(y - x)} right))] 로 놓으면 [math(f)]가 두 점 사이의 경로를 준다. 이제 곡선 [math(T)]가 경로 연결 공간이므로, [math(T)]는 자연스럽게 연결 공간이 된다.[2])]이 연결 공간이므로 성립한다.] 연결 공간의 폐포도 연결 공간이므로, [math(overline T)]는 연결 공간이다.□ |
[보조정리 2]
[math(overline T)]는 경로 연결 공간이 아니다.
[ 증명 ]결론을 부정하여 [math(overline T)]가 경로 연결 공간이라고 하자. 그러면, [math(overline T)]의 점 [math(f(0) = (0, 1))]과 [math(f(1) = (1, sin 1))]을 잇는 경로 [math(f: I = [0, 1] to overline T)]가 존재한다. 경로 [math(f)]는 2차원 공간 [math(mathbb R^2)]를 공역으로 갖는 연속함수이므로, [math(x)]축 및 [math(y)]축에 해당하는 성분함수 [math(f_1: I = [0, 1] to mathbb R)]와 [math(f_2: I = [0, 1] to mathbb R)]도 연속함수이다. 이제 [math(overline T)]의 닫힌 부분집합 [math(left{ 0 right} times I subset overline T)]를 생각하면, 역상 [math(f^{-1}(left{ 0 right} times I))]도 [math(I)]의 닫힌 부분집합 이어야 한다. 한편 실수의 유계이면서 닫힌 부분집합은 최댓값을 가지므로, [math(alpha = max f^{-1}(left{ 0 right} times I))]라 놓을 때 [math(f(alpha ) = (0, beta ) in left{ 0 right} times I)]이다. 다음으로 [math(gamma in I - left{ beta right})]인 [math(gamma)]를 고르고, [math(sin phi = gamma )]인 [math(phi in [0, 2 pi])]를 택하자. [math(alpha < 1)]이므로, [math(alpha < alpha' < 1)]인 [math(alpha')]를 아무거나 고르자. [math(alpha' > alpha)]이므로 [math(f_1(alpha') > 0)]이다. 따라서 중간값 정리에 의해 [math(f_1([alpha, alpha']))]은 [math(left[ 0, f_1(alpha') right])]의 모든 값을 가지며, 이 중에는 특별히 [math(dfrac 1{2n pi + phi})]와 같은 수들이 무수히 많이 존재한다. 따라서, [math(f([alpha, alpha']))]는 무수히 많은 [math(left( dfrac 1{2n pi + phi}, gamma right))]를 가진다. 이 집합의 극한점은 [math((0, gamma))]인데, 구간 [math([alpha, alpha'])]가 닫힌 집합이므로 [math((0, gamma) in f([alpha, alpha']))]이다. 그런데 [math([alpha, alpha'])]의 점 중에서 [math(alpha)]를 제외한 점들은 전부 [math(x)]좌표가 양수이므로 [math((0, gamma))]가 될 수 있는 것은 [math(alpha)] 뿐이다. 그러나, [math(f(alpha ) = (0, beta ) neq (0, gamma))] 이므로 모순을 얻는다. 종합하면 귀류법의 가정이 잘못되었으며, [math(overline T)]는 경로 연결 공간이 아니라는 결론을 얻는다.□ |